Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente em , percorrida por uma corrente filamentar (I) de 35 mA ao longo de e ii) uma determinada superfície plana, percorrida por uma corrente de densidade linear . Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto é igual a (4âx . Determine: a) ; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por e c) o vetor unitário normal a e ao campo calculado em b).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas distribuições de corrente:
  1. Uma linha filamentar localizada em e , com uma corrente de na direção .
  2. Uma superfície plana com uma densidade de corrente linear .
Sabemos que o campo magnético resultante no ponto é .
Vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart para relacionar as correntes com o campo magnético e também entender como a densidade de corrente contribui para o campo magnético. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a linha filamentar de corrente contribui para o campo magnético no ponto . A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético gerado por uma corrente em um ponto no espaço é dado por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é um elemento infinitesimal de comprimento da corrente,
  • é o vetor posição do ponto em relação ao elemento de corrente.
Como a corrente está na direção e localizada em e , precisamos encontrar o vetor de onde a corrente está para o ponto :
Agora, vamos calcular :
Então, o campo magnético devido à corrente é:

Passo 3

Agora, sabemos que o campo magnético resultante no ponto é . Esse campo é a soma dos campos magnéticos gerados pela corrente e pela densidade de corrente na superfície plana.
Queremos descobrir , então vamos rearranjar a equação:
Vamos calcular usando os valores dados:
Convertendo para A/m (já que ):

Passo 4

Agora, vamos encontrar :
Os termos envolvendo são extremamente pequenos e podem ser negligenciados para efeito prático.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar com a densidade de corrente . Para uma superfície plana com densidade de corrente linear , o campo magnético gerado pode ser calculado usando a fórmula similar à Lei de Ampère para superfícies:
Onde é o vetor unitário normal à superfície.
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:
No entanto, para determinar , precisamos considerar a orientação da superfície e o vetor normal . Como a questão pede para determinar o vetor unitário normal a e ao campo calculado em b), vamos primeiro assumir que e são perpendiculares, ou seja, o vetor normal está na direção de .

Passo 6

Vamos determinar o vetor unitário normal primeiramente. Como e são perpendiculares, podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção de :
Mas, como ainda não conhecemos , precisamos utilizar a relação direta entre e . Considerando que:
Podemos rearranjar para encontrar :
Para simplificar, assumiremos que está na direção , o que significa que a superfície é paralela ao plano .

Passo 7

Com , podemos calcular :

Resposta

a) A densidade de corrente linear é aproximadamente:

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