Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente em x=1 m e y=-4 m, percorrida por uma corrente filamentar (I) de 35 mA ao longo de az e ii) uma determinada superfície plana, percorrida por uma corrente de densidade linear K. Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto P(5 m, 6 m, 4 m) é igual a (4âx +5 ay) A / m. Determine: a) K; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por K e c) o vetor unitário normal a K e ao campo calculado em b).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas distribuições de corrente:
  1. Uma linha filamentar localizada em e , com uma corrente de na direção .
  2. Uma superfície plana com uma densidade de corrente linear .
Sabemos que o campo magnético resultante no ponto é .
Vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart para relacionar as correntes com o campo magnético e também entender como a densidade de corrente contribui para o campo magnético. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a linha filamentar de corrente contribui para o campo magnético no ponto B = mu04pi I , dl times r|r|^3 . A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético r = P - C = (5 , ax + 6 , ay + 4 , az) - (1 , ax - 4 , ay + 0 , az) gerado por uma corrente r = (4 , ax + 10 , ay + 4 , az) , m em um ponto no espaço é dado por:
dl = az , dz
Onde:
  • dl times r = az times (4 , ax + 10 , ay + 4 , az) = (4 , ay - 10 , ax) é a permeabilidade do vácuo,
  • BI = mu04pi I (4 , ay - 10 , ax)(4^2 + 10^2 + 4^2)^3/2 é um elemento infinitesimal de comprimento da corrente,
  • BI = mu0 I4pi (4 , ay - 10 , ax)(16 + 100 + 16)^3/2 é o vetor posição do ponto BI = mu0 I4pi (4 , ay - 10 , ax)132^3/2 em relação ao elemento de corrente.
Como a corrente está na direção e localizada em e , precisamos encontrar o vetor de onde a corrente está para o ponto :
Agora, vamos calcular :
Então, o campo magnético devido à corrente é:

Passo 3

Agora, sabemos que o campo magnético resultante no ponto B = BI + BK é BK = B - BI . Esse campo é a soma dos campos magnéticos gerados pela corrente I = 35 , mA = 0,035 , A e pela densidade de corrente mu0 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A na superfície plana.
BI = 4pi times 10^-7 times 0,0354pi (4 , ay - 10 , ax)132^3/2
Queremos descobrir BI = 10^-7 times 0,035 (4 , ay - 10 , ax)132^3/2 , T , então vamos rearranjar a equação:
BI approx 3,5 times 10^-9 times (4 , ay - 10 , ax)1517.54 , T
Vamos calcular BI approx ( -2,31 times 10^-12 , ax + 9,24 times 10^-12 , ay ) , T usando os valores dados:
BI approx -2,31 times 10^-12 , ax + 9,24 times 10^-12 , ay , A/m
Convertendo para A/m (já que ):

Passo 4

Agora, vamos encontrar BK = B - BI = (4,ax + 5,ay) - (-2,31 times 10^-12 , ax + 9,24 times 10^-12 , ay) :
BK approx 4,ax + 5,ay + 2,31 times 10^-12 , ax - 9,24 times 10^-12 , ay
BK approx 4,ax + 5,ay , A/m
Os termos envolvendo são extremamente pequenos e podem ser negligenciados para efeito prático.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar BK = mu0 K times n com a densidade de corrente K = BKmu0 times n^-1 . Para uma superfície plana com densidade de corrente linear , o campo magnético gerado pode ser calculado usando a fórmula similar à Lei de Ampère para superfícies:
Onde é o vetor unitário normal à superfície.
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:
No entanto, para determinar , precisamos considerar a orientação da superfície e o vetor normal . Como a questão pede para determinar o vetor unitário normal a e ao campo calculado em b), vamos primeiro assumir que e são perpendiculares, ou seja, o vetor normal está na direção de .

Passo 6

Vamos determinar o vetor unitário normal n = K times BK|K times BK| primeiramente. Como BK = mu0 K times n e K = 1mu0 BK times n são perpendiculares, podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção de :
Mas, como ainda não conhecemos , precisamos utilizar a relação direta entre e . Considerando que:
Podemos rearranjar para encontrar :
Para simplificar, assumiremos que está na direção , o que significa que a superfície é paralela ao plano .

Passo 7

Com K = 1mu0 BK times az , podemos calcular K = 14pi times 10^-7 (4,ax + 5,ay) times az :
K = 14pi times 10^-7 (4,ax times az + 5,ay times az)
K = 14pi times 10^-7 (-4,ay + 5,ax)
K = 14pi times 10^-7 (5,ax - 4,ay)
K approx 11,2566 times 10^-6 (5,ax - 4,ay)
K approx 7,9577 times 10^5 (5,ax - 4,ay) , A/m
K approx (3,9789 times 10^6 , ax - 3,1831 times 10^6 , ay) , A/m

Resposta

a) A densidade de corrente linear K approx (3,98 times 10^6 , ax - 3,18 times 10^6 , ay) , A/m é aproximadamente:

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