Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente em
, percorrida por uma corrente filamentar (I) de 35 mA ao longo de
e ii) uma determinada superfície plana, percorrida por uma corrente de densidade linear
. Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto
é igual a (4âx
. Determine: a)
; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por
e c) o vetor unitário normal a
e ao campo calculado em b).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas distribuições de corrente:
- Uma linha filamentar localizada em
e , com uma corrente de na direção . - Uma superfície plana com uma densidade de corrente linear
.
Sabemos que o campo magnético resultante no ponto
é
.
Vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart para relacionar as correntes com o campo magnético e também entender como a densidade de corrente
contribui para o campo magnético. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a linha filamentar de corrente contribui para o campo magnético no ponto
. A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético
gerado por uma corrente
em um ponto no espaço é dado por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é um elemento infinitesimal de comprimento da corrente, -
é o vetor posição do ponto em relação ao elemento de corrente.
Como a corrente está na direção
e localizada em
e
, precisamos encontrar o vetor
de onde a corrente está para o ponto
:
Agora, vamos calcular
:
Então, o campo magnético devido à corrente
é:
Passo 3
Agora, sabemos que o campo magnético resultante no ponto
é
. Esse campo é a soma dos campos magnéticos gerados pela corrente
e pela densidade de corrente
na superfície plana.
Queremos descobrir
, então vamos rearranjar a equação:
Vamos calcular
usando os valores dados:
Convertendo para A/m (já que
):
Passo 4
Agora, vamos encontrar
:
Os termos envolvendo
são extremamente pequenos e podem ser negligenciados para efeito prático.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar
com a densidade de corrente
. Para uma superfície plana com densidade de corrente linear
, o campo magnético gerado pode ser calculado usando a fórmula similar à Lei de Ampère para superfícies:
Onde
é o vetor unitário normal à superfície.
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
No entanto, para determinar
, precisamos considerar a orientação da superfície e o vetor normal
. Como a questão pede para determinar o vetor unitário normal a
e ao campo calculado em b), vamos primeiro assumir que
e
são perpendiculares, ou seja, o vetor normal
está na direção de
.
Passo 6
Vamos determinar o vetor unitário normal
primeiramente. Como
e
são perpendiculares, podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção de
:
Mas, como ainda não conhecemos
, precisamos utilizar a relação direta entre
e
. Considerando que:
Podemos rearranjar para encontrar
:
Para simplificar, assumiremos que
está na direção
, o que significa que a superfície é paralela ao plano
.
Passo 7
Com
, podemos calcular
:
Resposta
a) A densidade de corrente linear
é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Uma lâmina de corrente,
, está no plano
e uma corrente filamentar (I) está localizada em
. Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se
em
.
Uma lâmina de corrente,
, está no plano
e uma corrente filamentar (I) está localizada em
. Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se
.
Um condutor cilíndrico (muito longo) de raio
possui o seguinte campo magnético interno:
. Determine a corrente total no condutor.
Considere uma lâmina de corrente,
ây
, no plano
. Determine o fluxo magnético que atravessa a área retangular definida pelos seguintes pontos:
e (
.