Em um condutor cilíndrico maciço de raio b flui uma corrente total i0 através da seção reta do mesmo. A densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a relação j=Ar, em que r é a distância ao eixo central e A é uma constante. © idem para r.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um condutor cilíndrico sólido com raio por onde passa uma corrente total . A densidade de corrente, que indica quanta corrente passa por unidade de área, varia com a distância ao centro do cilindro seguindo a relação , onde é uma constante que a gente precisa descobrir. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para somar a corrente em todas as partes do cilindro e igualar ao valor total .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a densidade de corrente i0 = integral j , dA nos diz quanto de corrente está passando por cada pedacinho da área do cilindro. Como i0 = integral0^b A r cdot 2pi r , dr = 2pi A integral0^b r^2 , dr , isso significa que a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância do centro.
Para encontrar a corrente total integral0^b r^2 , dr = [ r^33 ]0^b = b^33 , precisamos integrar a densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Vamos usar coordenadas polares porque o problema tem simetria circular.
A corrente total é dada por:
i0 = 2pi A cdot b^33 = 2pi A b^33
Onde A = 3 i02pi b^3 é um elemento de área no cilindro. Em coordenadas polares, .
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos resolver a integral:
Substituindo de volta:
Agora, para encontrar , basta isolar essa constante:

Resposta

A constante é igual a .

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