Em um condutor cilíndrico maciço de raio b flui uma corrente total
através da seção reta do mesmo. A densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a relação j=Ar, em que r é a distância ao eixo central e A é uma constante. © idem para
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um condutor cilíndrico sólido com raio
por onde passa uma corrente total
. A densidade de corrente, que indica quanta corrente passa por unidade de área, varia com a distância
ao centro do cilindro seguindo a relação
, onde
é uma constante que a gente precisa descobrir. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para somar a corrente em todas as partes do cilindro e igualar ao valor total
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a densidade de corrente
nos diz quanto de corrente está passando por cada pedacinho da área do cilindro. Como
, isso significa que a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância do centro.
Para encontrar a corrente total
, precisamos integrar a densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Vamos usar coordenadas polares porque o problema tem simetria circular.
A corrente total é dada por:
Onde
é um elemento de área no cilindro. Em coordenadas polares,
.
Substituindo
na integral, temos:
Agora, vamos resolver a integral:
Substituindo de volta:
Agora, para encontrar
, basta isolar essa constante:
Resposta
A constante
é igual a
.