Um condutor cilíndrico de raio R , muito comprido, conduz uma corrente I. No interior do condutor há um orifício cilíndrico de raio a, cujo eixo é paralelo ao eixo do condutor e está à uma distância b deste eixo. Seja z o eixo do condutor e seja x=b, y=0 o eixo do orifício. Calcular o campo B (a) sobre o eixo dos x , e em particular para x=2 R;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um condutor cilíndrico muito comprido com raio que conduz uma corrente . Dentro desse condutor, há um orifício cilíndrico com raio , cujo eixo é paralelo ao eixo do condutor principal e está a uma distância desse eixo. Queremos calcular o campo magnético no eixo , especialmente quando .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart ou a Lei de Ampère, que nos ajudam a determinar campos magnéticos gerados por correntes elétricas. Além disso, usaremos o princípio da superposição, que permite somar os campos magnéticos de diferentes fontes.

Passo 2

Vamos visualizar o problema. Imagine um grande cilindro com corrente fluindo através dele. Agora, dentro desse cilindro, existe um “buraco” ou orifício, também cilíndrico, por onde não há corrente. Esse orifício está deslocado do centro do cilindro principal por uma distância .
Como o orifício não conduz corrente, podemos pensar nele como uma corrente negativa. Ou seja, o campo magnético total será o campo gerado pelo cilindro cheio menos o campo que seria gerado pelo orifício se ele estivesse carregando corrente.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o campo magnético gerado pelo cilindro completo sem o orifício. Para um condutor cilíndrico longo com corrente Btotal = mu0 I2pi x , o campo magnético a uma distância do eixo é dado pela Lei de Ampère:
onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 4

Agora, consideramos o orifício como um cilindro com corrente negativa. A corrente “faltante” devido ao orifício é proporcional à área do orifício. Portanto, a corrente associada ao orifício é:
Iorifício = a^2R^2 I í
Agora, o campo magnético devido a esse orifício em uma posição Borifício = mu0 Iorifício2pi d é:
íí
onde é a distância entre o ponto onde estamos calculando o campo e o eixo do orifício.

Passo 5

No nosso caso, queremos calcular o campo no eixo d = raiz(2R - b)^2 + 0^2 = 2R - b , especificamente em . A distância entre o ponto e o eixo do orifício que está a unidades de distância no eixo é dada pela f��rmula da distância entre dois pontos:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na expressão do campo magnético devido ao orifício:
Borifício = mu0 (a^2R^2 I)2pi (2R - b) = mu0 I a^22pi R^2 (2R - b) í

Passo 7

Finalmente, aplicando o princípio da superposição, o campo magnético total no ponto B = Btotal - Borifício = mu0 I2pi (2R) - mu0 I a^22pi R^2 (2R - b) é o campo do cilindro completo menos o campo do orifício:
B = mu0 I4pi R - mu0 I a^22pi R^2 (2R - b) í
Simplificando:

Resposta

O campo magnético B = mu0 I4pi R - mu0 I a^22pi R^2 (2R - b) no ponto é dado por:

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