Dois fios retilíneos paralelos muito longos, separados por uma distância 2b, transportam correntes de mesma intensidade i, em sentidos opostos. Considere um ponto P qualquer do plano dos dois fios. Sobre a perpendicular aos fios que passa por P , tome a origem O a meio caminho entre os fios, e seja x a abscissa de P em relação a O . (a) calcule a magnitude B(x ) do campo magnético em P , para |x| (supõe-se que a distância de P a cada fio é muito maior do que o diâmetro do mesmo). (b) idem para |x| > b. © trace um gráfico qualitativo de B(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois fios retilíneos, bem longos e paralelos, separados por uma distância de 2b. Ambos transportam a mesma corrente elétrica, de intensidade i, mas em sentidos opostos. Nosso objetivo é calcular a magnitude do campo magnético em um ponto P no plano dos fios. Vamos precisar usar a lei de Biot-Savart ou a lei de Ampère para determinar o campo magnético criado por fios longos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético gerado por um fio retilíneo infinito. A fórmula é:
B = mu0 I2pi r
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente pelo fio,
  • é a distância do ponto P ao fio.

Passo 3

No nosso caso, o ponto P está a uma distância x do ponto O, que está exatamente no meio dos dois fios. A distância de P a cada fio vai depender se ou .

Passo 4

Parte (a):

Para , o ponto P está mais próximo de um fio do que do outro. Vamos considerar os dois fios:
  • Fio A: mais próximo de P, a uma distância .
  • Fio B: mais distante de P, a uma distância .
Como as correntes são opostas, os campos magnéticos gerados por cada fio vão se somar ou se subtrair, dependendo da posição.

Passo 5

Como as correntes são em sentidos opostos, os campos magnéticos criados por cada fio no ponto P irão se somar em magnitude. Então, o campo total B(x) = mu0 i2pi (b - x) + mu0 i2pi (b + x) será:

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão somando as frações:
B(x) = mu0 i2pi ( 1b - x + 1b + x )
B(x) = mu0 i2pi ( 2bb^2 - x^2 )
B(x) = mu0 i bpi (b^2 - x^2)

Passo 7

Então, a magnitude do campo magnético no ponto P para B(x) = mu0 i bpi (b^2 - x^2) é:

Passo 8

Parte (b):

Agora, para , o ponto P está mais distante de ambos os fios, mas as distâncias são diferentes:
  • Fio A: a distância será .
  • Fio B: a distância será .
Neste caso, os campos magnéticos criados pelos dois fios estarão em direções opostas, pois as correntes são contrárias.

Passo 9

Assim, o campo total B(x) = mu0 i2pi (x - b) - mu0 i2pi (x + b) será a diferença entre os campos dos dois fios:

Passo 10

Simplificando a expressão:
B(x) = mu0 i2pi ( 1x - b - 1x + b )
B(x) = mu0 i2pi ( 2bx^2 - b^2 )
B(x) = mu0 i bpi (x^2 - b^2)

Passo 11

Portanto, a magnitude do campo magnético no ponto P para B(x) = mu0 i bpi (x^2 - b^2) é:

Resposta

A magnitude do campo magnético em P é:
B(x) = mu0 i bpi (b^2 - x^2) & para |x| < b, mu0 i bpi (x^2 - b^2) & para |x| > b

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