Em um condutor cilíndrico maciço de raio b flui uma corrente total
através da seção reta do mesmo. A densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a relação j=Ar, em que r é a distância ao eixo central e A é uma constante. (b) determine o módulo da indução magnética para os pontos externos ao condutor,
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o módulo da indução magnética fora de um condutor cilíndrico onde a densidade de corrente varia com a distância ao eixo. A matéria que vamos usar aqui é o Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa lei para calcular o campo magnético em torno de um condutor com corrente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a circulação do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética
vezes a corrente total que atravessa a superfície delimitada por esse caminho. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui,
é a corrente encerrada pelo caminho escolhido.
Passo 3
Agora, vamos escolher um caminho de Ampère apropriado para calcular
para
. Como o condutor é cilíndrico e a densidade de corrente só depende da distância ao eixo, o caminho ideal é um círculo concêntrico com o condutor, de raio
, onde
.
Nesse caso, a simetria do problema nos diz que o campo magnético
terá o mesmo módulo em todos os pontos do caminho e será sempre tangente ao círculo. Assim, podemos simplificar a integral da Lei de Ampère:
Passo 4
Precisamos agora determinar a corrente total
que atravessa o caminho escolhido. Como
, toda a corrente do condutor está dentro do caminho. Dado que a corrente total no condutor é
, temos:
Substituindo na Lei de Ampère:
Resolvendo para
:
Resposta
O módulo da indução magnética para pontos externos ao condutor (
) é dado por: