Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de n lados inscritos em um círculo de raio a. Se este fio for percorrido por uma corrente i, determine o valor de B no centro do polígono. Mostre que seu resultado tende para o valor correspondente a uma espira circular quando n tende para o infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fio dobrado formando um polígono regular de lados, todo inscrito num círculo de raio . Passa uma corrente por esse fio, e queremos descobrir qual é o campo magnético no centro do polígono. Além disso, a gente vai mostrar que, quando vira bem grande (tipo, vai para o infinito), esse resultado se aproxima do campo magnético de uma espira circular. Pra resolver isso, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por um segmento de fio carregado por corrente, além de um pouco de geometria dos polígonos regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo com corrente no ponto central pode ser calculado usando a Lei de Biot-Savart. Mas, como o fio está formando um polígono, cada lado vai contribuir igualmente para o campo no centro por causa da simetria.

Passo 3

O campo magnético total no centro do polígono será a soma dos campos magnéticos de todos os lados. Como todos os lados são iguais e estão distribuídos igualmente ao redor do centro, o campo resultante vai ser a soma vetorial desses campos, que acabam se somando pela mesma direção (perpendicular ao plano do polígono).

Passo 4

Vamos calcular o campo magnético gerado por um único lado do polígono. Para um segmento de fio de comprimento dB = mu0 i4pi cdot 2 sin(theta)r , o campo no centro é dado por:
Onde é o ângulo no centro correspondente ao lado, e é a distância do segmento ao centro. No caso do polígono regular, e .

Passo 5

Simplificando a expressão para o campo de um lado:
dB = mu0 i4pi cdot 2 sin(pin)a
Agora, como temos B = n cdot dB = n cdot mu0 i4pi cdot 2 sin(pin)a lados, o campo total B = mu0 i n2pi a sin(pin) no centro é:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, queremos ver o que acontece quando limn to infty n sin(pin) = pi tende para o infinito. Quando B = mu0 i n2pi a sin(pin) approx mu0 i pi2pi a = mu0 i2a fica muito grande, o polígono se aproxima de uma circunferência. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão do campo:
Esse é o campo magnético de uma espira circular de raio , confirmando que nosso resultado para o polígono tende para o caso da espira circular quando vai para o infinito.

Resposta

O campo magnético no centro do polígono é:
B = mu0 i n2pi a sin(pin)
E, quando B = mu0 i2a tende para o infinito, esse campo se aproxima de:
Isso confirma que, para um número muito grande de lados, o campo magnético do polígono regular se torna igual ao campo magnético de uma espira circular.

Exercícios relacionados