Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de n lados inscritos em um círculo de raio a. Se este fio for percorrido por uma corrente i, determine o valor de B no centro do polígono. Mostre que seu resultado tende para o valor correspondente a uma espira circular quando n tende para o infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fio dobrado formando um polígono regular de
lados, todo inscrito num círculo de raio
. Passa uma corrente
por esse fio, e queremos descobrir qual é o campo magnético
no centro do polígono. Além disso, a gente vai mostrar que, quando
vira bem grande (tipo, vai para o infinito), esse resultado se aproxima do campo magnético de uma espira circular. Pra resolver isso, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por um segmento de fio carregado por corrente, além de um pouco de geometria dos polígonos regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo com corrente
no ponto central pode ser calculado usando a Lei de Biot-Savart. Mas, como o fio está formando um polígono, cada lado vai contribuir igualmente para o campo no centro por causa da simetria.
Passo 3
O campo magnético total no centro do polígono será a soma dos campos magnéticos de todos os
lados. Como todos os lados são iguais e estão distribuídos igualmente ao redor do centro, o campo resultante vai ser a soma vetorial desses campos, que acabam se somando pela mesma direção (perpendicular ao plano do polígono).
Passo 4
Vamos calcular o campo magnético gerado por um único lado do polígono. Para um segmento de fio de comprimento
, o campo no centro é dado por:
Onde
é o ângulo no centro correspondente ao lado, e
é a distância do segmento ao centro. No caso do polígono regular,
e
.
Passo 5
Simplificando a expressão para o campo de um lado:
Agora, como temos
lados, o campo total
no centro é:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, queremos ver o que acontece quando
tende para o infinito. Quando
fica muito grande, o polígono se aproxima de uma circunferência. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão do campo:
Esse é o campo magnético de uma espira circular de raio
, confirmando que nosso resultado para o polígono tende para o caso da espira circular quando
vai para o infinito.
Resposta
O campo magnético no centro do polígono é:
E, quando
tende para o infinito, esse campo se aproxima de:
Isso confirma que, para um número muito grande de lados, o campo magnético do polígono regular se torna igual ao campo magnético de uma espira circular.