Um condutor cilíndrico de raio R , muito comprido, conduz uma corrente I. No interior do condutor há um orifício cilíndrico de raio a, cujo eixo é paralelo ao eixo do condutor e está à uma distância b deste eixo. Seja z o eixo do condutor e seja x=b, y=0 o eixo do orifício. Calcular o campo B (b) sobre o eixo dos y , e em particular em y=2 R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um condutor cilíndrico muito comprido, com raio , que está conduzindo uma corrente . Dentro desse condutor, tem um orifício cilíndrico de raio , cujo eixo é paralelo ao eixo do condutor principal e está a uma distância desse eixo. Queremos calcular o campo magnético no eixo dos , especialmente quando .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère e o Princípio da Superposição do campo magnético. Precisaremos considerar o condutor completo e o orifício como se fosse uma corrente negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o campo magnético funciona em um condutor cilíndrico sem orifício. Pela Lei de Ampère, o campo magnético B = mu0 I r2pi R^2 dentro de um condutor com distribuição uniforme de corrente é dado por:
onde:
  • é a permeabilidade magnética do vácuo,
  • é a corrente total,
  • é a distância do ponto considerado ao eixo do condutor,
  • é o raio do condutor.
Esse é o campo devido ao condutor completo sem considerar o orifício.

Passo 3

Agora, vamos considerar o efeito do orifício cilíndrico. O orifício pode ser tratado como uma corrente negativa, ou seja, uma corrente B' = mu0 I' r'2pi R^2 que está deslocada a uma distância do eixo principal do condutor.
O campo magnético devido a esse orifício no ponto no eixo dos será:
onde é a distância do ponto ao centro do orifício.

Passo 4

Para encontrar o campo magnético total no ponto desejado, usamos a superposição dos campos devido ao condutor completo e ao orifício:
Btotal = B - B'
Substituindo Btotal = mu0 I b2pi R^2 - mu0 (-I) b'2pi R^2 e considerando as distâncias apropriadas, temos:
Aqui, é a distância do ponto ao orifício, que no nosso caso específico será calculada no próximo passo.

Passo 5

Vamos agora calcular o campo magnético no ponto específico onde b' = raizb^2 + (2R)^2 . Nesse caso, a distância do ponto ao eixo principal é Btotal = mu0 I (2R)2pi R^2 - mu0 (-I) raizb^2 + (2R)^22pi R^2 e ao orifício é:
Substituindo isso na equação do campo magnético total:

Resposta

Depois de simplificar, o campo magnético no ponto onde Btotal = mu0 Ipi R (1 - raizb^2 + 4R^22R) é:

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