Um condutor esférico de raio
possui potencial V. Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo, a um segundo condutor esférico muito distante, seu potencial cai para
. Qual é o raio da segunda esfera? (Resp. 2R/3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas esferas condutoras. Inicialmente, uma esfera tem raio
e potencial
. Quando conectamos essa esfera a outra, que está bem longe e é de raio desconhecido, o potencial da primeira cai para
. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da segunda esfera. Vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente sobre potencial elétrico e como ele se comporta em condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
de uma esfera condutora isolada é dado por:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga elétrica na esfera, -
é o raio da esfera.
Passo 3
Quando conectamos duas esferas condutoras por um fio, elas vão compartilhar a carga até que ambas tenham o mesmo potencial. Vamos chamar a carga da primeira esfera de
e da segunda de
. Após a conexão, o potencial das duas será igual a
.
Passo 4
Sabemos que o potencial após a conexão para cada esfera é:
onde
é o raio da segunda esfera que queremos encontrar.
Passo 5
Como o potencial final das duas esferas é
, podemos escrever:
Passo 6
No início, a primeira esfera tem potencial
, então:
E a segunda esfera inicial tem carga zero, pois está muito distante e sem carga.
Passo 7
Após a conexão, a carga total
. Mas como elas têm o mesmo potencial:
Isso significa que
.
Passo 8
Substituindo
na equação
:
Passo 9
Agora, usando o potencial final
:
Aqui percebemos que houve uma inconsistência, então vamos ajustar:
Na verdade, a carga total é
, mas após a conexão, ambas as esferas têm potencial
, então:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, cancelamos
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
dos dois lados:
O valor negativo não faz sentido fisicamente, então devemos ter feito uma equação errada. Vamos corrigir:
A carga total deve ser distribuída de forma que:
Usando
:
Simplificando:
Multiplicando tudo por
:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por 3:
Resposta
O raio da segunda esfera é
.