Um condutor esférico de raio R possui potencial V. Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo, a um segundo condutor esférico muito distante, seu potencial cai para 3 V / 5. Qual é o raio da segunda esfera? (Resp. 2R/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas esferas condutoras. Inicialmente, uma esfera tem raio e potencial . Quando conectamos essa esfera a outra, que está bem longe e é de raio desconhecido, o potencial da primeira cai para . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da segunda esfera. Vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente sobre potencial elétrico e como ele se comporta em condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = kQR de uma esfera condutora isolada é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga elétrica na esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 3

Quando conectamos duas esferas condutoras por um fio, elas vão compartilhar a carga até que ambas tenham o mesmo potencial. Vamos chamar a carga da primeira esfera de e da segunda de . Após a conexão, o potencial das duas será igual a .

Passo 4

Sabemos que o potencial após a conexão para cada esfera é:
V' = kQ1R = kQ2r
onde é o raio da segunda esfera que queremos encontrar.

Passo 5

Como o potencial final das duas esferas é kQ1R = 3V5 , podemos escrever:
kQ2r = 3V5

Passo 6

No início, a primeira esfera tem potencial V = kQ1R Rightarrow Q1 = V Rk , então:
E a segunda esfera inicial tem carga zero, pois está muito distante e sem carga.

Passo 7

Após a conexão, a carga total Q1R = Q2r . Mas como elas têm o mesmo potencial:
Isso significa que .

Passo 8

Substituindo Q2 = V Rk cdot rR = V rk na equação :

Passo 9

Agora, usando o potencial final 3V5 = k cdot V RkR = V :
k(Q1 + Q2)R = 3V5
Aqui percebemos que houve uma inconsistência, então vamos ajustar:
Na verdade, a carga total é k(V Rk + V rk)R = 3V5 , mas após a conexão, ambas as esferas têm potencial V(R + r)R = 3V5 , então:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 10

Agora, cancelamos R + rR = 35 dos dois lados:
R + r = 3R5
Multiplicando ambos os lados por r = 3R5 - R = -2R5 :
Q1R = Q2r = 3V5k
Subtraindo 3V5k R + 3V5k r = V Rk dos dois lados:
3V R5k + 3V r5k = V Rk
O valor negativo não faz sentido fisicamente, então devemos ter feito uma equação errada. Vamos corrigir:
A carga total deve ser distribuída de forma que:
3R + 3r = 5R
Usando 3r = 2R :
r = 2R3
Simplificando:
Multiplicando tudo por :
Subtraindo dos dois lados:
Dividindo por 3:

Resposta

O raio da segunda esfera é .

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