Um condutor esférico de raio possui potencial V. Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo, a um segundo condutor esférico muito distante, seu potencial cai para . Qual é o raio da segunda esfera? (Resp. 2R/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas esferas condutoras. Inicialmente, uma esfera tem raio e potencial . Quando conectamos essa esfera a outra, que está bem longe e é de raio desconhecido, o potencial da primeira cai para . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da segunda esfera. Vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente sobre potencial elétrico e como ele se comporta em condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico de uma esfera condutora isolada é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga elétrica na esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 3

Quando conectamos duas esferas condutoras por um fio, elas vão compartilhar a carga até que ambas tenham o mesmo potencial. Vamos chamar a carga da primeira esfera de e da segunda de . Após a conexão, o potencial das duas será igual a .

Passo 4

Sabemos que o potencial após a conexão para cada esfera é:
onde é o raio da segunda esfera que queremos encontrar.

Passo 5

Como o potencial final das duas esferas é , podemos escrever:

Passo 6

No início, a primeira esfera tem potencial , então:
E a segunda esfera inicial tem carga zero, pois está muito distante e sem carga.

Passo 7

Após a conexão, a carga total . Mas como elas têm o mesmo potencial:
Isso significa que .

Passo 8

Substituindo na equação :

Passo 9

Agora, usando o potencial final :
Aqui percebemos que houve uma inconsistência, então vamos ajustar:
Na verdade, a carga total é , mas após a conexão, ambas as esferas têm potencial , então:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 10

Agora, cancelamos dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo dos dois lados:
O valor negativo não faz sentido fisicamente, então devemos ter feito uma equação errada. Vamos corrigir:
A carga total deve ser distribuída de forma que:
Usando :
Simplificando:
Multiplicando tudo por :
Subtraindo dos dois lados:
Dividindo por 3:

Resposta

O raio da segunda esfera é .

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