Considere uma fio fino e infinito, uniformemente carregado e que gera um campo elétrico de módulo igual a 1,8 N / m, num ponto situado a uma distância de 2 mm deste fio. Calcule a densidade linear, lambda, de cargas. (Resp. lambda=28,6 mu C / m )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio infinito e fininho que está carregado de forma uniforme, e sabemos que ele gera um campo elétrico de 1,8 , N/m a uma distância de 2 , mm. Nosso objetivo é encontrar a densidade linear de carga, que a gente chama de lambda (lambda). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria, como um fio infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade linear de carga, lambda. Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio, medida em coulombs por metro ( C/m). No nosso caso, queremos descobrir quanto de carga está distribuída a cada metro do fio.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0). A fórmula é:
PhiE = Qdentrovarepsilon0
Onde:
  • PhiE é o fluxo elétrico
  • Qdentro é a carga dentro da superfície
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2)

Passo 4

Para aplicar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que tenha a mesma simetria do problema. Como temos um fio infinito, vamos usar um cilindro coaxial com o fio. O raio do cilindro será r = 2 , mm = 0,002 , m e vamos considerar um comprimento L.

Passo 5

O fluxo elétrico através do cilindro é o campo elétrico E multiplicado pela área lateral do cilindro (já que as extremidades não contribuem para o fluxo). A área lateral é dada por:
A = 2pi r L
Portanto, o fluxo elétrico é:
PhiE = E cdot A = E cdot 2pi r L

Passo 6

A carga dentro do cilindro é a densidade linear de carga lambda multiplicada pelo comprimento L:
Qdentro = lambda L

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon0
Podemos cancelar o L dos dois lados:
E cdot 2pi r = lambdavarepsilon0

Passo 8

Agora, isolamos lambda para encontrar a densidade linear de carga:
lambda = E cdot 2pi r cdot varepsilon0

Passo 9

Substituindo os valores fornecidos:
E = 1,8 , N/m, r = 0,002 , m, varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2)
lambda = 1,8 times 2 times pi times 0,002 times 8,85 times 10^-12

Passo 10

Calculando os valores:
lambda = 1,8 times 2 times 3,1416 times 0,002 times 8,85 times 10^-12
lambda approx 28,6 times 10^-6 , C/m = 28,6 , muC/m

Resposta

lambda = 28,6 , muC/m

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