Considere uma fio fino e infinito, uniformemente carregado e que gera um campo elétrico de módulo igual a , num ponto situado a uma distância de deste fio. Calcule a densidade linear, , de cargas. (Resp. )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio infinito e fininho que está carregado de forma uniforme, e sabemos que ele gera um campo elétrico de a uma distância de . Nosso objetivo é encontrar a densidade linear de carga, que a gente chama de (lambda). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria, como um fio infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade linear de carga, . Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio, medida em coulombs por metro ( ). No nosso caso, queremos descobrir quanto de carga está distribuída a cada metro do fio.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ). A fórmula é:
Onde:
  • é o fluxo elétrico
  • é a carga dentro da superfície

Passo 4

Para aplicar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que tenha a mesma simetria do problema. Como temos um fio infinito, vamos usar um cilindro coaxial com o fio. O raio do cilindro será e vamos considerar um comprimento .

Passo 5

O fluxo elétrico através do cilindro é o campo elétrico multiplicado pela área lateral do cilindro (já que as extremidades não contribuem para o fluxo). A área lateral é dada por:
Portanto, o fluxo elétrico é:

Passo 6

A carga dentro do cilindro é a densidade linear de carga multiplicada pelo comprimento :

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos cancelar o dos dois lados:

Passo 8

Agora, isolamos para encontrar a densidade linear de carga:

Passo 9

Substituindo os valores fornecidos:

Passo 10

Calculando os valores:

Resposta

Exercícios relacionados

Duas carga positivas são mantidas fixas a uma distância de separação. Uma partícula de carga e massa é posicionada a meio caminho das cargas, então, é dada à partícula um pequeno deslocamento perpendicular a uma linha hipotética que liga as cargas e depois é liberada. Mostre que a partícula descreve um movimento harmônico simples de período .
Um cubo de lado possui uma carga pontual em cada vértice. Mostre que a força elétrica sobre qualquer uma das cargas é expressa por .
Uma partícula massiva e com carga é liberada a partir do repouso em uma região onde existe um campo elétrico uniforme orientado verticalmente para baixo. A partícula atinge o solo com uma velocidade igual a , onde é velocidade que a partícula alcançaria na ausência do campo elétrico. Calcule a massa desta partícula. (Resp.
Um condutor esférico de raio possui potencial V. Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo, a um segundo condutor esférico muito distante, seu potencial cai para . Qual é o raio da segunda esfera? (Resp. 2R/3)