Considere uma fio fino e infinito, uniformemente carregado e que gera um campo elétrico de módulo igual a
, num ponto situado a uma distância de
deste fio. Calcule a densidade linear,
, de cargas. (Resp.
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio infinito e fininho que está carregado de forma uniforme, e sabemos que ele gera um campo elétrico de
a uma distância de
. Nosso objetivo é encontrar a densidade linear de carga, que a gente chama de
(lambda). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria, como um fio infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade linear de carga,
. Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio, medida em coulombs por metro (
). No nosso caso, queremos descobrir quanto de carga está distribuída a cada metro do fio.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). A fórmula é:
Onde:
-
é o fluxo elétrico -
é a carga dentro da superfície -
Passo 4
Para aplicar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que tenha a mesma simetria do problema. Como temos um fio infinito, vamos usar um cilindro coaxial com o fio. O raio do cilindro será
e vamos considerar um comprimento
.
Passo 5
O fluxo elétrico através do cilindro é o campo elétrico
multiplicado pela área lateral do cilindro (já que as extremidades não contribuem para o fluxo). A área lateral é dada por:
Portanto, o fluxo elétrico é:
Passo 6
A carga dentro do cilindro é a densidade linear de carga
multiplicada pelo comprimento
:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos cancelar o
dos dois lados:
Passo 8
Agora, isolamos
para encontrar a densidade linear de carga:
Passo 9
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 10
Calculando os valores:
Resposta
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.
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.
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