Considere um cilindro maciço de raio
, não condutor, muito longo e com densidade constante e igual a
. Calcule o campo elétrico
(
é a distância ao
centro do cilindro) nas regiões: a)
; b)
. (Resp. a)
)
centro do cilindro) nas regiões: a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o campo elétrico
de um cilindro muito longo, com raio
, não condutor e com densidade constante
. A gente precisa encontrar o campo dentro do cilindro (
) e fora dele (
). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
. Em fórmula:
Como nosso cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, a gente vai escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro, coaxial com o cilindro original.
Passo 3
Vamos dividir a resolução em duas partes: quando
(dentro do cilindro) e quando
(fora do cilindro).
a) Para
Aqui, a superfície gaussiana tem raio
menor que
. A gente precisa calcular a carga dentro desse cilindro de raio
.
A densidade de carga
é a carga por unidade de volume. O volume de nosso cilindro gaussiano é
, onde
é o comprimento (que é muito grande, mas como usamos densidade, ele cancela depois).
A carga dentro é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, então podemos simplificar a equação.
Passo 4
Simplificando a equação:
Cancelamos
e
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
b) Para
Agora, a superfície gaussiana tem raio
maior que
. Aqui, toda a carga do cilindro original está dentro da superfície gaussiana.
A carga total do cilindro original é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Simplificando novamente:
Cancelamos
e
:
Dividindo por
:
Resposta
a) Para
, o campo elétrico é
.
b) Para
, o campo elétrico é
.