Considere um cilindro maciço de raio R, não condutor, muito longo e com densidade constante e igual a rho. Calcule o campo elétrico E(r) ( r é a distância ao
centro do cilindro) nas regiões: a) r; b) r>R. (Resp. a) E=rho r2 epsilono, b) E=rho R^22 epsilono r )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o campo elétrico de um cilindro muito longo, com raio , não condutor e com densidade constante . A gente precisa encontrar o campo dentro do cilindro ( ) e fora dele ( ). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 . Em fórmula:
Como nosso cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, a gente vai escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro, coaxial com o cilindro original.

Passo 3

Vamos dividir a resolução em duas partes: quando Qdentro = rho V = rho pi r^2 L (dentro do cilindro) e quando E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lepsilon0 (fora do cilindro).

a) Para

Aqui, a superfície gaussiana tem raio menor que . A gente precisa calcular a carga dentro desse cilindro de raio .
A densidade de carga é a carga por unidade de volume. O volume de nosso cilindro gaussiano é , onde é o comprimento (que é muito grande, mas como usamos densidade, ele cancela depois).
A carga dentro é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui, é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, então podemos simplificar a equação.

Passo 4

Simplificando a equação:
E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lepsilon0
Cancelamos E cdot 2 r = rho r^2epsilon0 e E = rho r2 epsilon0 dos dois lados:
Qtotal = rho pi R^2 L
Dividindo ambos os lados por E cdot 2pi r L = rho pi R^2 Lepsilon0 :

b) Para

Agora, a superfície gaussiana tem raio maior que . Aqui, toda a carga do cilindro original está dentro da superfície gaussiana.
A carga total do cilindro original é:
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Simplificando novamente:
E cdot 2pi r L = rho pi R^2 Lepsilon0
Cancelamos E cdot 2 r = rho R^2epsilon0 e E = rho R^22 epsilon0 r :
Dividindo por :

Resposta

a) Para , o campo elétrico é .
b) Para , o campo elétrico é .

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