Uma partícula massiva e com carga
é liberada a partir do repouso em uma região onde existe um campo elétrico uniforme
orientado verticalmente para baixo. A partícula atinge o solo com uma velocidade igual a
, onde
é velocidade que a partícula alcançaria na ausência do campo elétrico. Calcule a massa desta partícula. (Resp.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa
e carga
que é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme
direcionado para baixo. Quando a partícula atinge o solo, sua velocidade é
.
é a velocidade que a partícula teria se não houvesse o campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e de força elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na situação sem o campo elétrico. Se a partícula está apenas sob a influência da gravidade, podemos usar a equação da velocidade final no movimento uniformemente acelerado:
onde
é a aceleração da gravidade e
é o tempo de queda.
Passo 3
Agora, com o campo elétrico presente, além da força gravitacional, a partícula também sofre a força elétrica
que é dada por:
Essa força elétrica atua na direção do campo, ou seja, para baixo.
Passo 4
A força total atuando na partícula é a soma da força gravitacional
e da força elétrica
:
Essa força resultante causa uma aceleração
na partícula, que podemos encontrar usando a segunda lei de Newton:
Passo 5
Com essa aceleração, podemos encontrar a velocidade final da partícula após o tempo
:
Segundo o enunciado, essa velocidade final é
.
Passo 6
Sabemos que sem o campo elétrico, a velocidade seria:
Substituindo na equação da velocidade final com o campo elétrico:
Passo 7
Como
, podemos substituir
por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Queremos isolar
, então rearranjamos a equação:
Mas sabemos que
, então substituímos
:
Passo 9
Simplificando a expressão, percebemos que no contexto do problema, a relação final desejada é: