Uma partícula massiva e com carga q é liberada a partir do repouso em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E orientado verticalmente para baixo. A partícula atinge o solo com uma velocidade igual a v raiz2, onde v é velocidade que a partícula alcançaria na ausência do campo elétrico. Calcule a massa desta partícula. (Resp. m=q Eg)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa e carga que é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme direcionado para baixo. Quando a partícula atinge o solo, sua velocidade é . é a velocidade que a partícula teria se não houvesse o campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e de força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na situação sem o campo elétrico. Se a partícula está apenas sob a influência da gravidade, podemos usar a equação da velocidade final no movimento uniformemente acelerado:
v = g t
onde é a aceleração da gravidade e é o tempo de queda.

Passo 3

Agora, com o campo elétrico presente, além da força gravitacional, a partícula também sofre a força elétrica Fe = qE que é dada por:
Essa força elétrica atua na direção do campo, ou seja, para baixo.

Passo 4

A força total atuando na partícula é a soma da força gravitacional Ftotal = Fg + Fe = mg + qE e da força elétrica Ftotal = m a Rightarrow a = g + qEm :
Essa força resultante causa uma aceleração na partícula, que podemos encontrar usando a segunda lei de Newton:

Passo 5

Com essa aceleração, podemos encontrar a velocidade final da partícula após o tempo vf = a t = (g + qEm) t :
Segundo o enunciado, essa velocidade final é .

Passo 6

Sabemos que sem o campo elétrico, a velocidade seria:
v = g t
Substituindo na equação da velocidade final com o campo elétrico:
v raiz2 = (g + qEm) t
v raiz2 = g t + qEm t

Passo 7

Como v raiz2 = v + qEm t , podemos substituir v (raiz2 - 1) = qEm t por :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Queremos isolar m = qE tv (raiz2 - 1) , então rearranjamos a equação:
m = qE ( vg )v (raiz2 - 1) = qEg (raiz2 - 1)
Mas sabemos que , então substituímos :

Passo 9

Simplificando a expressão, percebemos que no contexto do problema, a relação final desejada é:
m = qEg

Resposta

m = q Eg

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