Um condutor esférico de raio tem uma carga total . Determine o campo elétrico (i) dentro do condutor ( ) e (ii) fora do condutor ( ). Explique por que o campo elétrico dentro do condutor é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos elétricos em um condutor esférico carregado. A gente vai trabalhar com eletrostática, especificamente usando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora do condutor. Vamos precisar entender como a carga se distribui em condutores e aplicar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico nas duas regiões: dentro ( ) e fora ( ) do condutor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro do condutor, onde . Em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem apenas na superfície. Isso acontece porque, se houvesse um campo elétrico dentro do condutor, as cargas livres se moveriam até que o campo interno fosse cancelado. Então, dentro do condutor, o campo elétrico é zero.
Matematicamente, aplicando a Lei de Gauss a uma superfície gaussiana dentro do condutor ( ):
Como não há carga dentro do condutor (as cargas estão na superfície), . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o campo elétrico fora do condutor, onde . Aqui, toda a carga está concentrada na superfície do condutor. Podemos tratar o condutor como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera para aplicar a Lei de Gauss.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio . A simetria esférica nos permite dizer que o campo elétrico é o mesmo em toda a superfície gaussiana e é radialmente simétrico. Aplicando a Lei de Gauss:
Como é constante na superfície gaussiana:

Resposta

(i) Para , o campo elétrico .
(ii) Para , o campo elétrico .
O campo elétrico dentro do condutor é zero porque as cargas se distribuem na superfície e se organizam de forma a cancelar qualquer campo interno, mantendo o equilíbrio eletrostático.

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