Um condutor esférico de raio R tem uma carga total Q. Determine o campo elétrico (i) dentro do condutor ( r ) e (ii) fora do condutor ( r>R ). Explique por que o campo elétrico dentro do condutor é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos elétricos em um condutor esférico carregado. A gente vai trabalhar com eletrostática, especificamente usando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora do condutor. Vamos precisar entender como a carga se distribui em condutores e aplicar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico nas duas regiões: dentro ( r < R) e fora ( r > R) do condutor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro do condutor, onde r < R. Em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem apenas na superfície. Isso acontece porque, se houvesse um campo elétrico dentro do condutor, as cargas livres se moveriam até que o campo interno fosse cancelado. Então, dentro do condutor, o campo elétrico E é zero.
Matematicamente, aplicando a Lei de Gauss a uma superfície gaussiana dentro do condutor ( r < R):
oint E cdot dA = Qinternavarepsilon0
Como não há carga dentro do condutor (as cargas estão na superfície), Qinterna = 0. Portanto:
oint E cdot dA = 0 implies E = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar o campo elétrico fora do condutor, onde r > R. Aqui, toda a carga Q está concentrada na superfície do condutor. Podemos tratar o condutor como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera para aplicar a Lei de Gauss.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r > R. A simetria esférica nos permite dizer que o campo elétrico E é o mesmo em toda a superfície gaussiana e é radialmente simétrico. Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qvarepsilon0
Como E é constante na superfície gaussiana:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E = Q4pi varepsilon0 r^2

Resposta

(i) Para r < R, o campo elétrico E = 0.
(ii) Para r > R, o campo elétrico E = dfracQ4pi varepsilon0 r^2.
O campo elétrico dentro do condutor é zero porque as cargas se distribuem na superfície e se organizam de forma a cancelar qualquer campo interno, mantendo o equilíbrio eletrostático.

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