Verifique se o campo elétrico calculado usando a Lei de Gauss para uma carga pontual Q é equivalente ao obtido pela Lei de Coulomb.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo elétrico que a gente calcula usando a Lei de Gauss para uma carga pontual
é o mesmo que a gente obtém usando a Lei de Coulomb. Então, vamos precisar entender essas duas leis e ver como elas se aplicam para uma carga pontual.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Coulomb. Ela nos diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por:
onde:
-
é a força entre as cargas, -
é a constante de Coulomb ( ), -
e são as cargas, -
é a distância entre elas.
O campo elétrico
criado por uma carga
é a força por unidade de carga de teste
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos ver a Lei de Gauss. Essa lei diz que o fluxo elétrico total
que passa por uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Para uma carga pontual
, a gente pode escolher como superfície uma esfera de raio
centrada na carga, já que a simetria esférica facilita os cálculos.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss na esfera, como a carga está no centro e o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície, podemos simplificar a integral:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos comparar os resultados das duas leis. Da Lei de Coulomb, temos:
E da Lei de Gauss, encontramos:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Ou seja,
Resposta
Sim, o campo elétrico calculado usando a Lei de Gauss para uma carga pontual
é equivalente ao obtido pela Lei de Coulomb, ambos resultando em
.