Verifique se o campo elétrico calculado usando a Lei de Gauss para uma carga pontual Q é equivalente ao obtido pela Lei de Coulomb.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo elétrico que a gente calcula usando a Lei de Gauss para uma carga pontual é o mesmo que a gente obtém usando a Lei de Coulomb. Então, vamos precisar entender essas duas leis e ver como elas se aplicam para uma carga pontual.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Coulomb. Ela nos diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por:
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as cargas,
  • é a distância entre elas.
O campo elétrico criado por uma carga é a força por unidade de carga de teste , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos ver a Lei de Gauss. Essa lei diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Para uma carga pontual , a gente pode escolher como superfície uma esfera de raio centrada na carga, já que a simetria esférica facilita os cálculos.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss na esfera, como a carga está no centro e o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície, podemos simplificar a integral:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos comparar os resultados das duas leis. Da Lei de Coulomb, temos:
E da Lei de Gauss, encontramos:
Mas sabemos que , então substituindo:
Ou seja,

Resposta

Sim, o campo elétrico calculado usando a Lei de Gauss para uma carga pontual é equivalente ao obtido pela Lei de Coulomb, ambos resultando em .

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