Um condutor longo, rígido, retilíneo, situado no eixo z, é percorrido por uma corrente de 7 A no sentido negativo do eixo z. Um campo magnético está presente, dado por B=3 z^2 i+14 z^3 j+23 z^4 k, com z em metros e B em militeslas. Determine as componentes do vetor força magnética exercida pelo campo sobre o segmento de 2 m do condutor entre os pontos z1=3 m e z2=5 m.

Respostas:

b) FB, y=-686 N

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio condutor longo e reto, alinhado no eixo B = 3 z^2 i + 14 z^3 j + 23 z^4 k , com uma corrente de 7 A fluindo na direção negativa de . Além disso, existe um campo magnético que varia com , dado por:
O objetivo é determinar as componentes do vetor força magnética ( ) exercida pelo campo sobre um segmento de 2 metros do fio entre m e m.

Passo 2

Vamos lembrar da fórmula para calcular a força magnética em um fio com corrente:
F = I integral dl times B
Aqui, é a corrente, é um elemento de comprimento do fio, e representa o produto vetorial.

Passo 3

Como o fio está alinhado ao longo do eixo dl = dz, k , podemos expressar o elemento de comprimento como:
Isso porque o fio se estende na direção de (eixo ).

Passo 4

A corrente está no sentido negativo de , então temos A.

Passo 5

Vamos substituir F = -7 integral3^5 dz, k times (3 z^2 i + 14 z^3 j + 23 z^4 k) e na fórmula da força:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial k times (3 z^2 i) = 3 z^2 (k times i) = 3 z^2 j ã:
k times (14 z^3 j) = 14 z^3 (k times j) = -14 z^3 i
k times (23 z^4 k) = 0
k times B = 3 z^2 j - 14 z^3 i
Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da força:
F = -7 integral3^5 dz, (3 z^2 j - 14 z^3 i)

Passo 8

Vamos separar as componentes F = -7 [ integral3^5 3 z^2 dz cdot j - integral3^5 14 z^3 dz cdot i ] e :

Passo 9

Calculando as integrais:
integral3^5 3 z^2 dz = 3 [ z^33 ]3^5 = [ z^3 ]3^5 = 5^3 - 3^3 = 125 - 27 = 98
integral3^5 14 z^3 dz = 14 [ z^44 ]3^5 = 144 (5^4 - 3^4) = 72 (625 - 81) = 72 times 544 = 1904

Passo 10

Substituindo os resultados das integrais na força:
F = -7 ( 98 j - 1904 i ) = -686 j + 13328 i
Como a pergunta pede as componentes do vetor força, podemos escrever:
Fx = 13328 , N, Fy = -686 , N, Fz = 0 , N

Resposta

As componentes do vetor força magnética exercida são:
Fx = 13328 , N, Fy = -686 , N, Fz = 0 , N

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