Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: b) f(z) = 1 / (cos(z) - 1 + z^2 / 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos singulares da função e determinar que tipo de ponto singular cada um é. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre pontos singulares e seus tipos, como pôlos e singularidades essenciais. Para isso, precisamos entender onde o denominador da função se anula, já que esses serão os pontos onde a função pode ter singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o denominador . Esses pontos são candidatos a serem pontos singulares da função .

Passo 3

Para resolver , lembramos da expansão em série de Taylor de em torno de :
Substituindo na equação:
Isso mostra que a equação se anula quando , ou seja, .

Passo 4

Então, o único ponto onde o denominador se anula é . Agora, vamos determinar o tipo dessa singularidade. Para isso, analisamos o comportamento da função perto de .

Passo 5

Observando a expansão de novamente:
Então, o denominador tem um termo dominante de próximo a . Portanto, a função se comporta como:
Isso indica que é um polo de ordem 4, já que o denominador tem um zero de ordem 4 e o numerador é uma função não nula nesse ponto.

Resposta

A função tem um único ponto singular em , que é um polo de ordem 4.

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