Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos singulares da função
e determinar que tipo de ponto singular cada um é. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre pontos singulares e seus tipos, como pôlos e singularidades essenciais. Para isso, precisamos entender onde o denominador da função se anula, já que esses serão os pontos onde a função pode ter singularidades.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o denominador
. Esses pontos são candidatos a serem pontos singulares da função
.
Passo 3
Para resolver
, lembramos da expansão em série de Taylor de
em torno de
:
Substituindo na equação:
Isso mostra que a equação se anula quando
, ou seja,
.
Passo 4
Então, o único ponto onde o denominador se anula é
. Agora, vamos determinar o tipo dessa singularidade. Para isso, analisamos o comportamento da função perto de
.
Passo 5
Observando a expansão de
novamente:
Então, o denominador tem um termo dominante de
próximo a
. Portanto, a função
se comporta como:
Isso indica que
é um polo de ordem 4, já que o denominador tem um zero de ordem 4 e o numerador é uma função não nula nesse ponto.
Resposta
A função
tem um único ponto singular em
, que é um polo de ordem 4.