Uma mola de constante elástica k=0,5 N / m e presa a um bloco de massa m, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição x1=0,1 m sua velocidade v1=-1 m / s, e quando está na posição x2=-0,2 m sua velocidade é v2=0,5 m / s. Encontre a frequência angular omega do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mola pendurada numa mesa sem atrito, onde uma massa está oscilando. A gente tem a constante elástica da mola ( k=0,5 N/m), duas posições diferentes da massa ( x1=0,1 m e x2=-0,2 m) e as velocidades correspondentes nessas posições ( v1=-1 m/s e v2=0,5 m/s). O que queremos descobrir é a frequência angular ( omega) desse movimento oscilatório. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e energia mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um sistema massa-mola em movimento harmônico simples, a frequência angular ( omega) está relacionada com a constante elástica da mola ( k) e a massa ( m) pela fórmula:
omega = raizkm
Mas aí, a gente não sabe o valor da massa ( m). Então, precisamos achar uma maneira de relacionar omega com as informações que temos sobre as posições e velocidades.

Passo 3

Vamos usar a conservação da energia mecânica. Em um sistema sem atrito, a energia total (a soma da energia potencial da mola e da energia cinética da massa) permanece constante. A energia mecânica ( E) é dada por:
E = 12k x^2 + 12m v^2
O que queremos fazer é igualar a energia nos dois estados diferentes e resolver para omega.

Passo 4

Vamos escrever a energia nos dois pontos:
Para x1 = 0,1 m e v1 = -1 m/s:
E = 12k x1^2 + 12m v1^2
Para x2 = -0,2 m e v2 = 0,5 m/s:
E = 12k x2^2 + 12m v2^2
Como a energia é a mesma nos dois casos, podemos igualar as duas equações:
12k x1^2 + 12m v1^2 = 12k x2^2 + 12m v2^2

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os 1/2:
k x1^2 + m v1^2 = k x2^2 + m v2^2
Agora, vamos trazer os termos com k para um lado e os termos com m para o outro:
k (x1^2 - x2^2) = m (v2^2 - v1^2)

Passo 6

Lembrando da relação omega = raizk/m, podemos isolar m:
m = komega^2
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
k (x1^2 - x2^2) = komega^2 (v2^2 - v1^2)
Podemos cancelar o k dos dois lados:
x1^2 - x2^2 = v2^2 - v1^2omega^2

Passo 7

Agora, isolamos omega^2:
omega^2 = v2^2 - v1^2x1^2 - x2^2
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar omega:
omega = raizv2^2 - v1^2x1^2 - x2^2

Resposta

Substituindo os valores dados:
omega = raiz(0,5)^2 - (-1)^2(0,1)^2 - (-0,2)^2 = raiz0,25 - 10,01 - 0,04 = raiz-0,75-0,03 = raiz25 = 5 rad/s
Então, a frequência angular omega do movimento é 5 rad/s.

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