Uma mola de constante elástica
e presa a um bloco de massa
, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição
sua velocidade
, e quando está na posição
sua velocidade é
. Encontre a frequência angular
do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mola pendurada numa mesa sem atrito, onde uma massa está oscilando. A gente tem a constante elástica da mola (
), duas posições diferentes da massa (
e
) e as velocidades correspondentes nessas posições (
e
). O que queremos descobrir é a frequência angular (
) desse movimento oscilatório. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e energia mecânica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um sistema massa-mola em movimento harmônico simples, a frequência angular (
) está relacionada com a constante elástica da mola (
) e a massa (
) pela fórmula:
Mas aí, a gente não sabe o valor da massa (
). Então, precisamos achar uma maneira de relacionar
com as informações que temos sobre as posições e velocidades.
Passo 3
Vamos usar a conservação da energia mecânica. Em um sistema sem atrito, a energia total (a soma da energia potencial da mola e da energia cinética da massa) permanece constante. A energia mecânica (
) é dada por:
O que queremos fazer é igualar a energia nos dois estados diferentes e resolver para
.
Passo 4
Vamos escrever a energia nos dois pontos:
Para
e
:
Para
e
:
Como a energia é a mesma nos dois casos, podemos igualar as duas equações:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os 1/2:
Agora, vamos trazer os termos com
para um lado e os termos com
para o outro:
Passo 6
Lembrando da relação
, podemos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Podemos cancelar o
dos dois lados:
Passo 7
Agora, isolamos
:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
Substituindo os valores dados:
Então, a frequência angular
do movimento é
.