Uma mola de constante elástica
e presa a um bloco de massa
, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição
sua velocidade
, e quando está na posição
sua velocidade é
. Encontre a amplitude
do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma mola com constante elástica
presa a um bloco de massa
. Esse sistema está oscilando sobre uma mesa horizontal sem atrito. Sabemos duas posições e velocidades específicas do bloco durante o movimento:
- Na posição
, a velocidade é . - Na posição
, a velocidade é .
Queremos encontrar a amplitude
desse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), que descreve movimentos oscilatórios como o de uma mola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um Movimento Harmônico Simples, a energia total do sistema é a soma da energia potencial elástica da mola e da energia cinética do bloco. A energia total permanece constante durante o movimento, pois não há atrito.
A energia potencial elástica da mola é dada por:
E a energia cinética do bloco é:
Então, a energia total
é:
Passo 3
Como a energia total é constante, podemos igualar as energias em dois pontos diferentes do movimento. Vamos considerar as duas posições fornecidas:
Para a posição
e velocidade
:
Para a posição
e velocidade
:
Como as energias são iguais:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar a massa
:
Então:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação para encontrar a massa
:
Calculando os quadrados:
Passo 6
Agora que temos a massa, podemos encontrar a amplitude
do movimento. No MHS, a amplitude está relacionada à energia total. Podemos usar a energia em qualquer ponto para determinar a amplitude.
Vamos usar a energia no ponto
:
Calculando:
Passo 7
A energia total também pode ser expressa em termos da amplitude:
Assim:
Simplificando:
Então:
Portanto:
Resposta
A amplitude do movimento é aproximadamente
.