Uma mola de constante elástica k=0,5 N / m e presa a um bloco de massa m, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição x1=0,1 m sua velocidade v1=-1 m / s, e quando está na posição x2=-0,2 m sua velocidade é v2=0,5 m / s. Encontre a amplitude xm do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma mola com constante elástica k = 0,5, N/m presa a um bloco de massa m. Esse sistema está oscilando sobre uma mesa horizontal sem atrito. Sabemos duas posições e velocidades específicas do bloco durante o movimento:
  • Na posição x1 = 0,1, m, a velocidade é v1 = -1, m/s.
  • Na posição x2 = -0,2, m, a velocidade é v2 = 0,5, m/s.
Queremos encontrar a amplitude xm desse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), que descreve movimentos oscilatórios como o de uma mola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um Movimento Harmônico Simples, a energia total do sistema é a soma da energia potencial elástica da mola e da energia cinética do bloco. A energia total permanece constante durante o movimento, pois não há atrito.
A energia potencial elástica da mola é dada por:
U = 12k x^2
E a energia cinética do bloco é:
K = 12m v^2
Então, a energia total E é:
E = U + K = 12k x^2 + 12m v^2

Passo 3

Como a energia total é constante, podemos igualar as energias em dois pontos diferentes do movimento. Vamos considerar as duas posições fornecidas:
Para a posição x1 = 0,1, m e velocidade v1 = -1, m/s:
E = 12k x1^2 + 12m v1^2
Para a posição x2 = -0,2, m e velocidade v2 = 0,5, m/s:
E = 12k x2^2 + 12m v2^2
Como as energias são iguais:
12k x1^2 + 12m v1^2 = 12k x2^2 + 12m v2^2

Passo 4

Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por 2:
k x1^2 + m v1^2 = k x2^2 + m v2^2
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar a massa m:
m (v1^2 - v2^2) = k (x2^2 - x1^2)
Então:
m = k (x2^2 - x1^2)v1^2 - v2^2

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação para encontrar a massa m:
m = 0,5, N/m times [(-0,2, m)^2 - (0,1, m)^2](-1, m/s)^2 - (0,5, m/s)^2
Calculando os quadrados:
m = 0,5 times (0,04 - 0,01)1 - 0,25 = 0,5 times 0,030,75 = 0,0150,75 = 0,02, kg

Passo 6

Agora que temos a massa, podemos encontrar a amplitude xm do movimento. No MHS, a amplitude está relacionada à energia total. Podemos usar a energia em qualquer ponto para determinar a amplitude.
Vamos usar a energia no ponto x1 = 0,1, m:
E = 12k x1^2 + 12m v1^2 = 12 times 0,5 times (0,1)^2 + 12 times 0,02 times (-1)^2
Calculando:
E = 12 times 0,5 times 0,01 + 12 times 0,02 times 1 = 0,0025 + 0,01 = 0,0125, J

Passo 7

A energia total também pode ser expressa em termos da amplitude:
E = 12k xm^2
Assim:
0,0125, J = 12 times 0,5, N/m times xm^2
Simplificando:
0,0125 = 0,25 times xm^2
Então:
xm^2 = 0,01250,25 = 0,05
Portanto:
xm = raiz0,05 approx 0,2236, m

Resposta

A amplitude do movimento é aproximadamente 0,224, m.

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