A uniform sphere of mass M, radius a, has two point masses 14 M, 18 M, located on its surface and separated by an angular distance of 45^circ. Find the principal axes and principal moments of inertia about the center of the sphere.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma esfera uniforme com massa total M e raio a. Nessa esfera, estão localizadas duas massas pontuais: uma com massa 14M e outra com massa 18M. Essas duas massas estão na superfície da esfera e separadas por um ângulo de 45^circ. Nosso objetivo é encontrar os eixos principais e os momentos de inércia principais em relação ao centro da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de momento de inércia e eixos principais. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação, e os eixos principais são as direções em que os momentos de inércia são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia total de um sistema é a soma dos momentos de inércia de cada componente individualmente. Como temos uma esfera uniforme e duas massas pontuais, precisamos calcular o momento de inércia da esfera e o momento de inércia das massas pontuais.
Para uma esfera uniforme em relação ao seu centro, o momento de inércia é dado por:
Iesfera = 25 M a^2

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas massas pontuais. O momento de inércia de uma partícula pontual em relação a um eixo é dado por:
I = m r^2
onde m é a massa da partícula e r é a distância da partícula até o eixo de rotação.
Como as massas estão na superfície da esfera, a distância r de cada massa até o centro (que será o nosso eixo de rotação) é igual ao raio a da esfera.
Então, o momento de inércia da primeira massa ( 14M) é:
I1 = 14 M a^2
E o momento de inércia da segunda massa ( 18M) é:
I2 = 18 M a^2

Passo 4

Agora, vamos somar todos os momentos de inércia para obter o momento de inércia total do sistema em torno de um eixo qualquer que passe pelo centro da esfera. Supondo que esse eixo esteja no mesmo plano onde estão as duas massas pontuais e forme um ângulo de theta = 45^circ com a linha que liga as duas massas, o momento de inércia total é:
Itotal = Iesfera + I1 + I2 + m1 m2 a^2 sin^2(theta)
No entanto, como as duas massas estão localizadas na superfície e separadas por 45^circ, precisamos considerar como elas contribuem para os momentos de inércia nos diferentes eixos.

Passo 5

Para encontrar os eixos principais, precisamos identificar os eixos em que o tensor de inércia é diagonal. No nosso caso, devido à simetria, os eixos principais serão os eixos principais da esfera mais as direções definidas pelas massas pontuais.
Considerando a posição das massas no espaço, podemos escolher um sistema de coordenadas onde o eixo z passa pelo centro da esfera e está alinhado com uma das massas. O outro eixo principal será perpendicular a este, no plano definido pelas duas massas.

Passo 6

Finalmente, os momentos de inércia principais podem ser calculados considerando os eixos principais identificados. Como temos simetria, os momentos de inércia ao redor dos eixos perpendiculares são iguais, e o momento de inércia ao redor do eixo alinhado com uma das massas será diferente.
Calculando esses momentos, obtemos:
Ix = Iy = 25 M a^2 + 14 M a^2 + 18 M a^2 = 25M a^2 + 38 M a^2 = 3140 M a^2
E para o eixo z:
Iz = 25 M a^2 + 14 M a^2 cos^2(0) + 18 M a^2 cos^2(45^circ) = 25 M a^2 + 14 M a^2 + 18 M a^2 times 12 = 25 M a^2 + 14 M a^2 + 116 M a^2 = 1920 M a^2

Resposta

Os eixos principais são os eixos x e y, que estão perpendiculares entre si e no plano definido pelas duas massas, e o eixo z que passa por uma das massas. Os momentos de inércia principais são:
Ix = Iy = 3140 M a^2
Iz = 1920 M a^2

Exercícios relacionados