Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância
do vértice é
para
.
A área de um corte paralelo à base e a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um cone sólido formado ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice que não está no mesmo plano. Sabemos que a área da base do cone é
e a altura do cone é
. A gente precisa provar que a área de um corte paralelo à base, que fica a uma distância
do vértice, é dada por:
para valores de
entre 0 e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um cone, qualquer corte paralelo à base também vai formar um círculo (ou uma figura semelhante à base, dependendo do tipo de cone). A ideia aqui é relacionar as áreas desses cortes com a distância
do vértice.
Passo 3
Sabemos que as seções paralelas de um cone são semelhantes entre si. Isso significa que as dimensões de um corte qualquer são proporcionais às dimensões da base. A proporcionalidade vai depender da distância
do vértice comparada com a altura total
.
Passo 4
Como as figuras são semelhantes, os comprimentos lineares deles estão na razão
. Mas queremos a área, e área envolve duas dimensões (comprimento e largura). Então, a razão das áreas vai ser o quadrado da razão dos comprimentos.
Passo 5
Aplicando isso, a área do corte
será:
Isso significa que a área do corte depende do quadrado da relação entre a distância
e a altura total
.
Resposta
A área do corte paralelo à base a uma distância
do vértice é:
para
.
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Calcule
.
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas: