Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana D com um vértice não contido no plano. Seja A a área de S e h a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância t do vértice é A(t) = t^2 h^2 A para 0 <= t <= h.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um cone sólido formado ligando todos os pontos de uma região plana com um vértice que não está no mesmo plano. Sabemos que a área da base do cone é e a altura do cone é . A gente precisa provar que a área de um corte paralelo à base, que fica a uma distância do vértice, é dada por:
para valores de entre 0 e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um cone, qualquer corte paralelo à base também vai formar um círculo (ou uma figura semelhante à base, dependendo do tipo de cone). A ideia aqui é relacionar as áreas desses cortes com a distância do vértice.

Passo 3

Sabemos que as seções paralelas de um cone são semelhantes entre si. Isso significa que as dimensões de um corte qualquer são proporcionais às dimensões da base. A proporcionalidade vai depender da distância do vértice comparada com a altura total .

Passo 4

Como as figuras são semelhantes, os comprimentos lineares deles estão na razão . Mas queremos a área, e área envolve duas dimensões (comprimento e largura). Então, a razão das áreas vai ser o quadrado da razão dos comprimentos.

Passo 5

Aplicando isso, a área do corte será:
Isso significa que a área do corte depende do quadrado da relação entre a distância e a altura total .

Resposta

A área do corte paralelo à base a uma distância do vértice é:
para .

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Calcule J(u, v).
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