lim x 0 xtg^-1(4 x)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Vamos usar os conceitos de limites e a regra de L’Hospital para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0. O numerador vai para 0 e a função também vai para . Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é 1.
  • Derivada de em relação a é . Isso porque a derivada de é , onde e .

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 141 + 16x^2 = limx to 0 1 + 16x^24
Quando 1 + 04 = 14 se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, o limite fica:

Resposta

O limite é .

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