lim x 0 xtg^-1(4 x)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Vamos usar os conceitos de limites e a regra de L’Hospital para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0. O numerador vai para 0 e a função também vai para . Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é 1.
  • Derivada de em relação a é . Isso porque a derivada de é , onde e .

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 141 + 16x^2 = limx to 0 1 + 16x^24
Quando 1 + 04 = 14 se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, o limite fica:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto P, quando:
f(x) = 2x / (x^2 + 1) e P(1, 1)
O volume do sólido abaixo do gráfico z=f(x, y) e acima da região S no plano x y é dado por
V=integral1^2 integralx^x^3 f(x, y) d y d x+integral2^8 integralx^8 f(x, y) d y d x
Calcule V se f(x, y)=e^x(x / y)^1 / 2.
Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
integral0^a integral0^x raizx^2+y^2 d x d y
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana D com um vértice não contido no plano. Seja A a área de S e h a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância t do vértice é A(t) = t^2 h^2 A para 0 <= t <= h.