Passo 1
Então, a gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Vamos usar os conceitos de limites e a regra de L’Hospital para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0. O numerador
vai para 0 e a função
também vai para
. Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é 1. - Derivada de
em relação a é . Isso porque a derivada de é , onde e .
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, o limite fica:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e
O volume do sólido abaixo do gráfico
e acima da região
no plano
é dado por
Calcule
se
.
Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância do vértice é
para
.
A área de um corte paralelo à base e a uma distância