Considere o mapa definido pelas equações
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um mapa definido pelas equações
e
. O que a gente precisa calcular aqui é o
, que é o determinante jacobiano dessa transformação. Isso é útil quando a gente quer mudar de coordenadas e precisa entender como as áreas (ou volumes, dependendo do contexto) são afetadas por essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Jacobiano. O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que definem a transformação. No nosso caso, temos duas funções:
Para construir o Jacobiano, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz jacobiana
usando essas derivadas parciais:
Passo 5
Para encontrar o determinante jacobiano
, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Resposta
O determinante jacobiano é
.