Considere o mapa definido pelas equações
x = u + v, y = v - u^2
Calcule J(u, v).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um mapa definido pelas equações e . O que a gente precisa calcular aqui é o , que é o determinante jacobiano dessa transformação. Isso é útil quando a gente quer mudar de coordenadas e precisa entender como as áreas (ou volumes, dependendo do contexto) são afetadas por essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Jacobiano. O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que definem a transformação. No nosso caso, temos duas funções:
Para construir o Jacobiano, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz jacobiana usando essas derivadas parciais:

Passo 5

Para encontrar o determinante jacobiano , vamos calcular o determinante dessa matriz:

Resposta

O determinante jacobiano é .

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