Considere o mapa definido pelas equações
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um mapa definido pelas equações
e
. O que a gente precisa calcular aqui é o
, que é o determinante jacobiano dessa transformação. Isso é útil quando a gente quer mudar de coordenadas e precisa entender como as áreas (ou volumes, dependendo do contexto) são afetadas por essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Jacobiano. O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que definem a transformação. No nosso caso, temos duas funções:
Para construir o Jacobiano, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz jacobiana
usando essas derivadas parciais:
Passo 5
Para encontrar o determinante jacobiano
, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Resposta
O determinante jacobiano é
.
Exercícios relacionados
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância do vértice é
para
.
A área de um corte paralelo à base e a uma distância
Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
Derive as seguintes funções: