Considere o mapa definido pelas equações
x = u + v, y = v - u^2
Calcule J(u, v).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um mapa definido pelas equações e . O que a gente precisa calcular aqui é o , que é o determinante jacobiano dessa transformação. Isso é útil quando a gente quer mudar de coordenadas e precisa entender como as áreas (ou volumes, dependendo do contexto) são afetadas por essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Jacobiano. O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que definem a transformação. No nosso caso, temos duas funções:
Para construir o Jacobiano, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz jacobiana usando essas derivadas parciais:

Passo 5

Para encontrar o determinante jacobiano , vamos calcular o determinante dessa matriz:

Resposta

O determinante jacobiano é .

Exercícios relacionados

Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana D com um vértice não contido no plano. Seja A a área de S e h a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância t do vértice é A(t) = t^2 h^2 A para 0 <= t <= h.
Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
integral0^a integral0^x raizx^2+y^2 d x d y
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
g(x) = cos(3 x)
Derive as seguintes funções:
k(x) = 4 ln(3 x) + (2 x^3 - x^2)^6