Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
integral0^a integral0^x raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e resolver. A matéria em questão é cálculo de integrais duplas, e vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares, além de saber aplicar a fórmula do jacobiano nessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^a integral0^x raizx^2+y^2 , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função sobre a região onde e .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

A função raiz(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = raizr^2 (cos^2theta + sin^2theta) = raizr^2 = r em coordenadas polares fica simplesmente , porque:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como 0 <= theta <= pi4 e 0 <= r <= acostheta e :
  • A condição significa .
  • A condição significa que vai de 0 até .
Então, os novos limites são:

Passo 6

Substituindo tudo na integral em coordenadas polares, temos:
integral0^pi4 integral0^acostheta r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^acostheta r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^acostheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^acostheta = 13 ( acostheta )^3 = a^33 cos^3theta primeiro:

Passo 8

Agora, a integral fica:
a^33 integral0^pi4 1cos^3theta , dtheta
Sabemos que integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln|sectheta + tantheta| + C é . A integral de é conhecida e é:

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
a^33 [ 12 sectheta tantheta + 12 ln|sectheta + tantheta| ]0^pi4
Calculando em sec(pi4) = raiz2, tan(pi4) = 1 :
12 raiz2 cdot 1 + 12 ln(raiz2 + 1)
Então:
sec(0) = 1, tan(0) = 0
E em 12 cdot 1 cdot 0 + 12 ln(1 + 0) = 0 :
Então:

Passo 10

Substituindo de volta:
a^33 ( raiz22 + 12 ln(raiz2 + 1) ) = a^36 ( raiz2 + ln(raiz2 + 1) )

Resposta

A integral avaliada é:
a^36 ( raiz2 + ln(raiz2 + 1) )

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