Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e resolver. A matéria em questão é cálculo de integrais duplas, e vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares, além de saber aplicar a fórmula do jacobiano nessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, estamos integrando a função
sobre a região onde
e
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
A função
em coordenadas polares fica simplesmente
, porque:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como
e
:
- A condição
significa . - A condição
significa que vai de 0 até .
Então, os novos limites são:
Passo 6
Substituindo tudo na integral em coordenadas polares, temos:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Sabemos que
é
. A integral de
é conhecida e é:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Calculando em
:
Então:
E em
:
Então:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A integral avaliada é:
Exercícios relacionados
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
A área de um corte paralelo à base e a uma distância do vértice é
para
.
A área de um corte paralelo à base e a uma distância
Considere o mapa definido pelas equações
Calcule
.