Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
O volume do cone é
.
O volume do cone é
Passo 1
Beleza, temos um cone sólido formado ligando todos os pontos de uma região plana
a um vértice fora do plano. Queremos mostrar que o volume desse cone é dado por
, onde
é a área da base
e
é a altura do cone. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o volume de um cone. O volume é a quantidade de espaço que o cone ocupa. Para calcular isso, podemos pensar em como o espaço dentro do cone se acumula a partir da base até o vértice.
Passo 3
Vamos considerar que o cone pode ser dividido em infinitas fatias horizontais, cada uma com uma certa área e uma pequena altura. A soma dessas pequenas parcelas de volume nos dará o volume total do cone. Isso é basicamente integrar a área das seções ao longo da altura.
Passo 4
A área de cada fatia a uma altura
do vértice será proporcional ao quadrado de
, já que à medida que subimos, o raio do círculo diminui proporcionalmente. Assim, podemos expressar a área da fatia como
, onde
é a área da base.
Passo 5
Agora, vamos integrar essa área desde
até
para encontrar o volume total:
Resposta
Portanto, o volume do cone é
.
Exercícios relacionados
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e
Considere o mapa definido pelas equações
Seja
um triângulo
com vértices
e
. Esboce a imagem de
no plano
.