Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana D com um vértice não contido no plano. Seja A a área de S e h a altura do cone. Mostre que:
O volume do cone é V = (1/3) A h.

Passo 1

Beleza, temos um cone sólido formado ligando todos os pontos de uma região plana a um vértice fora do plano. Queremos mostrar que o volume desse cone é dado por , onde é a área da base e é a altura do cone. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o volume de um cone. O volume é a quantidade de espaço que o cone ocupa. Para calcular isso, podemos pensar em como o espaço dentro do cone se acumula a partir da base até o vértice.

Passo 3

Vamos considerar que o cone pode ser dividido em infinitas fatias horizontais, cada uma com uma certa área e uma pequena altura. A soma dessas pequenas parcelas de volume nos dará o volume total do cone. Isso é basicamente integrar a área das seções ao longo da altura.

Passo 4

A área de cada fatia a uma altura do vértice será proporcional ao quadrado de , já que à medida que subimos, o raio do círculo diminui proporcionalmente. Assim, podemos expressar a área da fatia como , onde é a área da base.

Passo 5

Agora, vamos integrar essa área desde até para encontrar o volume total:

Resposta

Portanto, o volume do cone é .

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