Considere o mapa definido pelas equações
x = u + v, y = v - u^2
Seja T um triângulo u v com vértices (0,0),(2,0) e 0,2. Esboce a imagem de T no plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para usar um mapa definido pelas equações e para transformar um triângulo no plano com vértices em , e e desenhar a imagem desse triângulo no plano . Para isso, vamos precisar entender como aplicar essas equações de transformação para cada ponto do triângulo e ver como eles se comportam no novo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo no plano : são os pontos , e . Nosso objetivo é encontrar onde cada um desses pontos vai ficar no plano usando as equações do mapa.

Passo 3

Vamos começar transformando o ponto . Substituindo e nas equações:
Então, o ponto continua em no plano .

Passo 4

Agora, vamos transformar o ponto . Substituindo e :
Assim, o ponto no plano fica em .

Passo 5

Por último, transformamos o ponto . Substituindo e :
Portanto, o ponto no plano está em .

Passo 6

Agora que temos os três vértices transformados no plano : , e , vamos visualizar como fica o triângulo após a transformação. Vemos que e têm o mesmo valor de (que é 2), mas negativo no caso de e positivo no caso de . Isso indica que a imagem do triângulo no plano será um triângulo que se estende para cima e para baixo a partir do ponto .

Resposta

A imagem do triângulo no plano é um triângulo com vértices em , e .

Exercícios relacionados

Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto P, quando:
f(x)=(e^(2 x)-1)/(x^(2)+1) e P(0,0)
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana D com um vértice não contido no plano. Seja A a área de S e h a altura do cone. Mostre que:
O volume do cone é V = (1/3) A h.
lim x 0 cos x-1+1x x^2x^4
lim x infty e^-8 ln x