Considere o mapa definido pelas equações
Seja
um triângulo
com vértices
e
. Esboce a imagem de
no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para usar um mapa definido pelas equações
e
para transformar um triângulo
no plano
com vértices em
,
e
e desenhar a imagem desse triângulo no plano
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar essas equações de transformação para cada ponto do triângulo e ver como eles se comportam no novo plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo
no plano
: são os pontos
,
e
. Nosso objetivo é encontrar onde cada um desses pontos vai ficar no plano
usando as equações do mapa.
Passo 3
Vamos começar transformando o ponto
. Substituindo
e
nas equações:
Então, o ponto
continua em
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos transformar o ponto
. Substituindo
e
:
Assim, o ponto
no plano
fica em
.
Passo 5
Por último, transformamos o ponto
. Substituindo
e
:
Portanto, o ponto
no plano
está em
.
Passo 6
Agora que temos os três vértices transformados no plano
:
,
e
, vamos visualizar como fica o triângulo
após a transformação. Vemos que
e
têm o mesmo valor de
(que é 2), mas
negativo no caso de
e positivo no caso de
. Isso indica que a imagem do triângulo
no plano
será um triângulo que se estende para cima e para baixo a partir do ponto
.
Resposta
A imagem do triângulo
no plano
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
O volume do cone é .
O volume do cone é