Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de derivadas para isso, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está no gráfico da função
. Substituindo
na função:
Então,
está correto.
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da inclinação dessa reta no ponto
. A inclinação é dada pela derivada da função
avaliada em
. Vamos calcular
.
Passo 4
A função
é uma razão de duas funções, então usaremos a Regra do Quociente para derivar:
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada em
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação
da reta tangente é 2.
Passo 6
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Um cone sólido é obtido ligando todos os pontos de uma região plana
com um vértice não contido no plano. Seja
a área de
e
a altura do cone. Mostre que:
O volume do cone é .
O volume do cone é
Considere o mapa definido pelas equações
Seja
um triângulo
com vértices
e
. Esboce a imagem de
no plano
.