Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se a equação dada é exata. Caso seja, precisamos resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação:
A equação geral de uma equação diferencial exata é . Para verificar se é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Começamos integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral fica:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a)
Considere a EDO não linear:
(b) Revise sua dedução do item anterior e veja que nela também podem-se obter como soluções e .
Note que não existe valores para a constante , em a) que conduzam às soluções mencionadas em b).
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(a)
Resolva as seguintes equações como EDO
(b)