Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se a equação dada é exata. Caso seja, precisamos resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e calcular algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação:
A equação geral de uma equação diferencial exata é . Para verificar se é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, calculamos :
Como , a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Começamos integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral fica:
Passo 5
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :