Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
y = x^2 + 1, x = 2, y = 1; em torno da reta y = -2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando o método das cascas cilíndricas. Precisamos encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , e , em torno da reta . Para isso, vamos identificar as curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula do método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • Parábola:
  • Reta vertical:
  • Reta horizontal:
Para visualizar, imagine uma parábola que abre para cima, interceptando a reta no ponto e cortando a reta vertical no ponto (pois ). A região a ser rotacionada está entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos configurar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo paralelo ao eixo das integrais. A fórmula geral para o volume usando este método é:
No nosso caso:
  • Raio: A distância da casca ao eixo de rotação . Para um ponto a uma altura , o raio será .
  • Altura: A diferença entre a função superior e inferior, que é .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Da equação da parábola, . Então:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
Avaliação nos limites:

Resposta

O volume gerado pela rotação da região é unidades cúbicas.

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