Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno da reta

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando o método das cascas cilíndricas. Precisamos encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , e , em torno da reta . Para isso, vamos identificar as curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula do método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • Parábola:
  • Reta vertical:
  • Reta horizontal:
Para visualizar, imagine uma parábola que abre para cima, interceptando a reta no ponto e cortando a reta vertical no ponto (pois ). A região a ser rotacionada está entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos configurar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo paralelo ao eixo das integrais. A fórmula geral para o volume usando este método é:
No nosso caso:
  • Raio: A distância da casca ao eixo de rotação . Para um ponto a uma altura , o raio será .
  • Altura: A diferença entre a função superior e inferior, que é .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Da equação da parábola, . Então:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
Avaliação nos limites:

Resposta

O volume gerado pela rotação da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Confirme que o campo de forças é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
;
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde é o triângulo de vértices .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno do eixo-x