Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno da reta
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando o método das cascas cilíndricas. Precisamos encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
e
, em torno da reta
. Para isso, vamos identificar as curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula do método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
- Parábola:
- Reta vertical:
- Reta horizontal:
Para visualizar, imagine uma parábola que abre para cima, interceptando a reta
no ponto
e cortando a reta vertical
no ponto
(pois
). A região a ser rotacionada está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo paralelo ao eixo das integrais. A fórmula geral para o volume
usando este método é:
No nosso caso:
- Raio: A distância da casca ao eixo de rotação
. Para um ponto a uma altura , o raio será . - Altura: A diferença entre a função superior e inferior, que é
.
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Da equação da parábola,
. Então:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Avaliação nos limites:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
;
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde
é o triângulo de vértices
.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno do eixo-x