integral t^2 sen(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais que envolvem funções polinomiais multiplicadas por funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes serão u = t^2 e dv = sen(2t) , dt e du = 2t , dt e v = -12 cos(2t) . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
integral t^2 sen(2t) , dt = u , v - integral v , du = t^2 (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) (2t) , dt
Agora, precisamos calcular a nova integral = -12 t^2 cos(2t) + integral t cos(2t) , dt usando integração por partes novamente.

Passo 4

Para a integral u = t e dv = cos(2t) , dt , vamos escolher:
du = dt e v = 12 sen(2t)
Derivando e integrando:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Voltando à expressão anterior:
Simplificando tudo junto:
Onde integral t^2 sen(2t) , dt = -12 t^2 cos(2t) + ( 12 t sen(2t) + 14 cos(2t) ) é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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