Encontre o gradiente de no ponto indicado. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um conceito da matéria de cálculo multivariável, que nos ajuda a entender a direção de maior aumento da função em um determinado ponto. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos com respeito a , que dá , e é tratado como uma constante em relação a .

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Neste caso, é tratado como uma constante em relação a , e a derivada de com respeito a é .

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de é:
Agora, substituímos os valores de e pelo ponto dado .

Passo 6

Substituindo e na expressão do gradiente:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

Exercícios relacionados

Encontre em . .
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .
Determine o diferencial da função: .