Encontre em . .

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional no ponto . A função que estamos trabalhando é , com e o vetor direção . Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e gradiente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Vamos calcular e .
A função é .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto .
Calculando em :
Calculando em :

Passo 4

O gradiente de no ponto é, então, o vetor formado pelas derivadas parciais calculadas:

Passo 5

A derivada direcional na direção do vetor é o produto escalar do gradiente de em com o vetor :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção de é .

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Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
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Encontre o gradiente de no ponto indicado. .
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .