Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas da função
são iguais. Isso envolve calcular essas derivadas e verificar se realmente são as mesmas. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada
:
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada interna:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais e ambas são iguais a
.
Exercícios relacionados
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
.
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.
Determine o diferencial da função:
.
Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace