Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f são iguais. f(x, y) = sen(3 x^2 + 6 y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas da função são iguais. Isso envolve calcular essas derivadas e verificar se realmente são as mesmas. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada :
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada interna:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais e ambas são iguais a .

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