Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas da função são iguais. Isso envolve calcular essas derivadas e verificar se realmente são as mesmas. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada :
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada interna:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais e ambas são iguais a .

Exercícios relacionados

Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .
Determine o diferencial da função: .
Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.