Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e a equação de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função constante, ou seja, ela não depende de nem de . Isso quer dizer que, se a gente der a derivada de em relação a ou , o resultado vai ser zero. Vamos ver isso na prática.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de em relação a :
E a primeira derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas, que são as derivadas das derivadas que acabamos de achar. Então:
E similarmente para :

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
Isso mostra que a soma das segundas derivadas é igual a zero, que é exatamente o que a equação de Laplace pede.

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace porque suas segundas derivadas em relação a e são iguais a zero, fazendo com que:

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Determine o diferencial da função: .
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Encontre ou . .