Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e a equação de Laplace para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função constante, ou seja, ela não depende de
nem de
. Isso quer dizer que, se a gente der a derivada de
em relação a
ou
, o resultado vai ser zero. Vamos ver isso na prática.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
em relação a
:
E a primeira derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas, que são as derivadas das derivadas que acabamos de achar. Então:
E similarmente para
:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
Isso mostra que a soma das segundas derivadas é igual a zero, que é exatamente o que a equação de Laplace pede.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace porque suas segundas derivadas em relação a
e
são iguais a zero, fazendo com que:
Exercícios relacionados
Determine o diferencial da função:
.
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Encontre
ou
.
.