Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0
z=-3 / raiz10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e a equação de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função constante, ou seja, ela não depende de nem de . Isso quer dizer que, se a gente der a derivada de em relação a ou , o resultado vai ser zero. Vamos ver isso na prática.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de partial zpartial x = 0 em relação a partial zpartial y = 0 :
E a primeira derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas, que são as derivadas das derivadas que acabamos de achar. Então:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x(partial zpartial x) = partialpartial x(0) = 0
E similarmente para partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y(partial zpartial y) = partialpartial y(0) = 0 :

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 + 0 = 0
Isso mostra que a soma das segundas derivadas é igual a zero, que é exatamente o que a equação de Laplace pede.

Resposta

A função partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace porque suas segundas derivadas em relação a e são iguais a zero, fazendo com que:

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