Determine o diferencial da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o diferencial da função
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de diferenciais de funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como calcular o diferencial de uma função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o diferencial de uma função
é dado por:
Aqui,
representa o produto externo, mas para simplificar, podemos pensar nisso como a diferença entre as derivadas cruzadas.
Passo 3
Identificando as partes da nossa função:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Aqui, tratamos
como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Calculando
:
Utilizamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula do diferencial:
Resposta
O diferencial da função é
.
Exercícios relacionados
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
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Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.