Determine o diferencial da função: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o diferencial da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de diferenciais de funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como calcular o diferencial de uma função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o diferencial de uma função é dado por:
Aqui, representa o produto externo, mas para simplificar, podemos pensar nisso como a diferença entre as derivadas cruzadas.

Passo 3

Identificando as partes da nossa função:
Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :
Aqui, tratamos como constante ao derivar em relação a .

Passo 5

Calculando :
Utilizamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula do diferencial:

Resposta

O diferencial da função é .

Exercícios relacionados

Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .
Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .