Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando multiplicadores de Lagrange. A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função sob a restrição . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os pontos extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método é útil quando temos que otimizar uma função sujeita a uma restrição . A ideia é encontrar pontos onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de , ou seja, , onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
  • Função a ser otimizada:
  • Restrição:
Agora, calculamos os gradientes de e :

Passo 4

Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, temos que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver a equação (2):
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Se , a equação é automaticamente satisfeita para qualquer .

Passo 6

Vamos considerar os dois casos:
Caso 1: e
Substituindo na equação (1):
Então, temos duas soluções:
Subcaso 1.1:
Substituindo na restrição (3):
Então, os pontos são e .
Subcaso 1.2:
Substituindo na restrição (3):
Então, os pontos são e .

Passo 7

Caso 2:
Substituindo na restrição (3):
Então, os pontos são e .
Agora, temos todos os pontos críticos:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de em cada um desses pontos para determinar quais são máximos e mínimos.
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  1. Em : o resultado é o mesmo que o anterior,
  2. Em :
  1. Em :

Resposta

Os valores extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo absoluto: no ponto
  • Mínimo absoluto: no ponto
Além disso, há outros pontos críticos com valores de iguais a 1 e aproximadamente 0,9259, mas os valores máximos e mínimos absolutos são os citados acima.

Exercícios relacionados

Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .
Encontre ou . .
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Determine o diferencial da função: .