Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando multiplicadores de Lagrange. A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a restrição
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os pontos extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método é útil quando temos que otimizar uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é encontrar pontos onde o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
, ou seja,
, onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar nossas funções:
- Função a ser otimizada:
- Restrição:
Agora, calculamos os gradientes de
e
:
Passo 4
Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, temos que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação (2):
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Se
, a equação é automaticamente satisfeita para qualquer
.
Passo 6
Vamos considerar os dois casos:
Caso 1:
e
Substituindo
na equação (1):
Então, temos duas soluções:
Subcaso 1.1:
Substituindo na restrição (3):
Então, os pontos são
e
.
Subcaso 1.2:
Substituindo na restrição (3):
Então, os pontos são
e
.
Passo 7
Caso 2:
Substituindo na restrição (3):
Então, os pontos são
e
.
Agora, temos todos os pontos críticos:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
em cada um desses pontos para determinar quais são máximos e mínimos.
- Em
: - Em
: - Em
:
- Em
: o resultado é o mesmo que o anterior, - Em
:
- Em
:
Resposta
Os valores extremos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo absoluto:
no ponto - Mínimo absoluto:
no ponto
Além disso, há outros pontos críticos com valores de
iguais a 1 e aproximadamente 0,9259, mas os valores máximos e mínimos absolutos são os citados acima.
Exercícios relacionados
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.
Encontre
ou
.
.
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Determine o diferencial da função:
.