Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função
. Isso envolve Cálculo Multivariável, especificamente a análise de pontos críticos usando derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função, igualá-las a zero e analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando a primeira equação:
Simplificando a segunda equação:
Passo 4
Agora temos:
Dividindo as duas equações:
Isso significa que:
Passo 5
Vamos considerar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação
:
Então,
ou
.
Caso 2:
Substituindo na equação
:
Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.
Passo 6
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 7
Agora, vamos determinar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Calculando as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
nos pontos críticos.
Para (1, 1):
Como
e
, o ponto é um mínimo relativo.
Para (-1, -1):
Novamente,
e
, então este ponto também é um mínimo relativo.
Resposta
A função
possui dois mínimos relativos nos pontos
e
. Não há máximos relativos nem pontos de sela.
Exercícios relacionados
Encontre
ou
.
.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
.
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.