Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função . Isso envolve Cálculo Multivariável, especificamente a análise de pontos críticos usando derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função, igualá-las a zero e analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando a primeira equação:
Simplificando a segunda equação:

Passo 4

Agora temos:
Dividindo as duas equações:
Isso significa que:

Passo 5

Vamos considerar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação :
Então, ou .
Caso 2:
Substituindo na equação :
Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.

Passo 6

Portanto, os pontos críticos são:

Passo 7

Agora, vamos determinar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Calculando as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é dado por:

Passo 8

Vamos calcular nos pontos críticos.
Para (1, 1):
Como e , o ponto é um mínimo relativo.
Para (-1, -1):
Novamente, e , então este ponto também é um mínimo relativo.

Resposta

A função possui dois mínimos relativos nos pontos e . Não há máximos relativos nem pontos de sela.

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Utilize a regra da cadeia para determinar . .
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .