Suponha que f(x, y) seja diferenciável no ponto (4,8) com f_x(4,8) = 3 e fy(4,8)=-1. Se x = t^2 e y = t^3, encontre d/z dt para t = 2.

Passo 1

No exercício, a gente precisa calcular a derivada de uma função composta usando a regra da cadeia. Temos que f(x, y) é diferenciável no ponto (4,8) com e fy(4,8)=-1. Além disso, sabemos que e . Nosso objetivo é encontrar quando .

Passo 2

Como e tanto x quanto y são funções de t, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t:
Agora, substituímos os valores no ponto :

Passo 4

Sabemos que no ponto (4,8):
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

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