Suponha que seja diferenciável no ponto e . Se e , encontre para .

Passo 1

No exercício, a gente precisa calcular a derivada de uma função composta usando a regra da cadeia. Temos que é diferenciável no ponto com e . Além disso, sabemos que e . Nosso objetivo é encontrar quando .

Passo 2

Como e tanto quanto são funções de , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Agora, substituímos os valores no ponto :

Passo 4

Sabemos que no ponto :
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

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Seja uma função de uma variável e seja , em que . Mostre que
Sejam . Determine de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a .
Sejam . Determine de dois modos:
(a) Usando a regra da cadeia;
Confirme que a função , definida em todo plano , é função potencial do campo vetorial