Sejam . Determine de dois modos:
(a) Usando a regra da cadeia;

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem uma função , onde e . Nosso objetivo é encontrar usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como as variáveis estão relacionadas e aplicar a regra da cadeia que conecta as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de . Então, a derivada total de em relação a será:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante ao derivar em relação a .

Passo 4

Agora, a derivada de em relação a :
Novamente, tratamos como constante ao derivar em relação a .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e em relação a . Primeiro, :
E :

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da regra da cadeia:

Passo 7

Por último, substituímos e na equação acima:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Suponha que seja diferenciável no ponto e . Se e , encontre para .
Seja uma função de uma variável e seja , em que . Mostre que
Confirme que a função , definida em todo plano , é função potencial do campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo de , onde é o segmento de reta de até .