Sejam z=y e^x+x e^y, y=sen(t), x=cos (t). Determine partial zpartial t de dois modos:
(a) Usando a regra da cadeia;

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem uma função , onde e . Nosso objetivo é encontrar usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como as variáveis estão relacionadas e aplicar a regra da cadeia que conecta as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso, dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt depende de e , que por sua vez dependem de . Então, a derivada total de em relação a será:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, a derivada de partial zpartial x = partialpartial x ( y e^x + x e^y ) = y e^x + e^y em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante ao derivar em relação a .

Passo 4

Agora, a derivada de partial zpartial y = partialpartial y ( y e^x + x e^y ) = e^x + x e^y em relação a :
Novamente, tratamos como constante ao derivar em relação a .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de dxdt = -sin(t) e dydt = cos(t) em relação a . Primeiro, :
E :

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
dzdt = ( y e^x + e^y ) cdot (-sin(t)) + ( e^x + x e^y ) cdot cos(t)

Passo 7

Por último, substituímos dzdt = ( sin(t) e^cos(t) + e^sin(t) ) cdot (-sin(t)) + ( e^cos(t) + cos(t) e^sin(t) ) cdot cos(t) e na equação acima:

Resposta

A derivada de dzdt = -sin(t) ( sin(t) e^cos(t) + e^sin(t) ) + cos(t) ( e^cos(t) + cos(t) e^sin(t) ) em relação a é:

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