Sejam
. Determine
de dois modos:
(a) Usando a regra da cadeia;
(a) Usando a regra da cadeia;
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem uma função
, onde
e
. Nosso objetivo é encontrar
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como as variáveis estão relacionadas e aplicar a regra da cadeia que conecta as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, a derivada total de
em relação a
será:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante ao derivar em relação a
.
Passo 4
Agora, a derivada de
em relação a
:
Novamente, tratamos
como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
. Primeiro,
:
E
:
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 7
Por último, substituímos
e
na equação acima:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Suponha que
seja diferenciável no ponto
e
. Se
e
, encontre
para
.
Seja
uma função de uma variável e seja
, em que
. Mostre que
Confirme que a função
, definida em todo plano
, é função potencial do campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo de
, onde
é o segmento de reta de
até
.