Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo
Movimento no círculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre o movimento de partículas que seguem curvas no plano
. Especificamente, estamos trabalhando com um movimento circular definido pela equação
. O que precisamos fazer é encontrar os vetores velocidade e aceleração da partícula em certos instantes de tempo dados pela função posição:
E os instantes de tempo são
e
. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função posição para encontrar a velocidade e derivar a velocidade para encontrar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os vetores posição, velocidade e aceleração. A função posição
nos dá a localização da partícula no tempo
. A velocidade
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a primeira derivada de
. Já a aceleração
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada de
.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor velocidade
. Para isso, derivamos cada componente de
em relação a
:
Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
derivando a velocidade
em relação a
:
Novamente, aplicando a regra da derivada:
Assim,
Passo 5
Agora que temos as expressões para
e
, vamos avaliar esses vetores nos instantes de tempo
e
.
Para
:
Calculando os ângulos:
Calculando
e :
Então,
Para
:
Calculando os ângulos:
Calculando
e :
Aproximando
e :
Então,
Resposta
Portanto, os vetores velocidade e aceleração nos instantes indicados são:
-
Para
: -
Para
:
Esses vetores representam a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes específicos de tempo ao longo da trajetória circular definida.