Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano x y. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo x^2+y^2=16
r(t)=(4 cos t2) i+(4 sen t2) j ; t=pi e 3 pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre o movimento de partículas que seguem curvas no plano r(t) = (4 cos t2) i + (4 sen t2) j . Especificamente, estamos trabalhando com um movimento circular definido pela equação . O que precisamos fazer é encontrar os vetores velocidade e aceleração da partícula em certos instantes de tempo dados pela função posição:
E os instantes de tempo são e . Para resolver isso, vamos precisar derivar a função posição para encontrar a velocidade e derivar a velocidade para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os vetores posição, velocidade e aceleração. A função posição nos dá a localização da partícula no tempo . A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a primeira derivada de . Já a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada de .

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor velocidade v(t) = dr(t)dt = ddt(4 cos t2) i + ddt(4 sen t2) j . Para isso, derivamos cada componente de ddt(cos t2) = -12 sen t2 em relação a ddt(sen t2) = 12 cos t2 :
Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração a(t) = dv(t)dt = ddt(-2 sen t2) i + ddt(2 cos t2) j derivando a velocidade ddt(sen t2) = 12 cos t2 em relação a ddt(cos t2) = -12 sen t2 :
Novamente, aplicando a regra da derivada:
Assim,

Passo 5

Agora que temos as expressões para pi2 e pi2 times 32 = 3pi4 e cos pi2 = 0 , sen pi2 = 1 , vamos avaliar esses vetores nos instantes de tempo cos 3pi4 = -raiz22 , sen 3pi4 = raiz22 e v(pi) = -2 times 1 i + 2 times 0 j = -2 i + 0 j .
Para a(pi) = -1 times 0 i -1 times 1 j = 0 i -1 j :
Calculando os ângulos:
3pi4 e 3pi4 times 32 = 9pi8
Calculando cos 3pi4 = -raiz22 , sen 3pi4 = raiz22 e :
Então,
cos 9pi8 = -cos pi8 , sen 9pi8 = -sen pi8
cos pi8 approx 0,9239 , sen pi8 approx 0,3827
Para v(3pi2) = -2 times raiz22 i + 2 times raiz22 j = -raiz2 i + raiz2 j :
Calculando os ângulos:
a(3pi2) = -1 times (-raiz22) i -1 times raiz22 j = raiz22 i - raiz22 j
Calculando e :
Aproximando e :
Então,

Resposta

Portanto, os vetores velocidade e aceleração nos instantes indicados são:
  • Para v(pi) = -2 i e a(pi) = -j :
    v(3pi2) = -raiz2 i + raiz2 j e a(3pi2) = raiz22 i - raiz22 j
  • Para :
Esses vetores representam a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes específicos de tempo ao longo da trajetória circular definida.

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