Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano . Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre o movimento de partículas que seguem curvas no plano . Especificamente, estamos trabalhando com um movimento circular definido pela equação . O que precisamos fazer é encontrar os vetores velocidade e aceleração da partícula em certos instantes de tempo dados pela função posição:
E os instantes de tempo são e . Para resolver isso, vamos precisar derivar a função posição para encontrar a velocidade e derivar a velocidade para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os vetores posição, velocidade e aceleração. A função posição nos dá a localização da partícula no tempo . A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a primeira derivada de . Já a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada de .

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor velocidade . Para isso, derivamos cada componente de em relação a :
Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração derivando a velocidade em relação a :
Novamente, aplicando a regra da derivada:
Assim,

Passo 5

Agora que temos as expressões para e , vamos avaliar esses vetores nos instantes de tempo e .
Para :
Calculando os ângulos:
Calculando e :
Então,
Para :
Calculando os ângulos:
Calculando e :
Aproximando e :
Então,

Resposta

Portanto, os vetores velocidade e aceleração nos instantes indicados são:
  • Para :
  • Para :
Esses vetores representam a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes específicos de tempo ao longo da trajetória circular definida.

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Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano . Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento na parábola
Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave em é a reta que passa pelo ponto paralela a , o vetor velocidade da curva em . Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro .
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