Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave
em
é a reta que passa pelo ponto
paralela a
, o vetor velocidade da curva em
. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial e queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a posição da curva nesse valor de
e o vetor velocidade (ou derivada) nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando a posição da curva quando
. Substituindo
na função
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade
, que é a derivada da função
em relação a
. Vamos derivar cada componente:
Derivando cada termo:
Então:
Agora, substituímos
:
Sabendo que:
Então:
Passo 4
Agora que temos o ponto da reta tangente
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta que passa por
e tem vetor direção
são:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são:
onde
é o parâmetro.