Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k em t = t0 é a reta que passa pelo ponto f(t0), g(t0), h(t0) paralela a v(t0), o vetor velocidade da curva em t0. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = t0.
r(t) = (cos(t)) i + (sen(t)) j + (sen(2t)) k, t0 = pi/2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial e queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar calcular a posição da curva nesse valor de e o vetor velocidade (ou derivada) nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando a posição da curva quando . Substituindo na função :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade , que é a derivada da função em relação a . Vamos derivar cada componente:
Derivando cada termo:
Então:
Agora, substituímos :
Sabendo que:
Então:

Passo 4

Agora que temos o ponto da reta tangente e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta que passa por e tem vetor direção são:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
onde é o parâmetro.

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