Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano x y. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento na cicloide x = t - sen(t), y = 1 - cos(t)
r(t) = (t - sen(t)) i + (1 - cos(t)) j ; t = pi e 3 pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move seguindo uma cicloide, com as posições dadas por e . Nosso objetivo aqui é descobrir os vetores velocidade e aceleração dessa partícula nos tempos e . Para isso, vamos usar a ideia de derivadas para achar essas grandezas a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos achar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do vetor posição. Vamos derivar cada componente de :
Derivando:

Passo 4

Vamos agora calcular os vetores velocidade e aceleração no instante .
Primeiro, a velocidade:
Sabemos que e , então:
Agora, a aceleração:

Passo 5

Vamos calcular agora os vetores velocidade e aceleração no instante .
Primeiro, a velocidade:
Sabemos que e , então:
Agora, a aceleração:

Resposta

No tempo , o vetor velocidade é e o vetor aceleração é . No tempo , o vetor velocidade é e o vetor aceleração é .

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