Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento na cicloide
Movimento na cicloide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move seguindo uma cicloide, com as posições dadas por e
. Nosso objetivo aqui é descobrir os vetores velocidade e aceleração dessa partícula nos tempos
e
. Para isso, vamos usar a ideia de derivadas para achar essas grandezas a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos achar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do vetor posição. Vamos derivar cada componente de
:
Derivando:
Passo 4
Vamos agora calcular os vetores velocidade e aceleração no instante
.
Primeiro, a velocidade:
Sabemos que
e , então:
Agora, a aceleração:
Passo 5
Vamos calcular agora os vetores velocidade e aceleração no instante
.
Primeiro, a velocidade:
Sabemos que
e , então:
Agora, a aceleração:
Resposta
No tempo
, o vetor velocidade é
e o vetor aceleração é
. No tempo
, o vetor velocidade é
e o vetor aceleração é
.