Nos Exercícios 9-14, r é a posição de uma partícula no espaço no instante . Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de . Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula no espaço em função do tempo, representada por . Nosso objetivo é encontrar os vetores velocidade e aceleração da partícula, calcular o módulo da velocidade e a direção do movimento no instante . Além disso, vamos expressar a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e um versor (vetor unitário). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e cálculo de magnitudes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade , que é a derivada da posição em relação ao tempo . Em termos simples, a velocidade mostra quão rápido e em que direção a partícula está se movendo a cada instante.
Dados:
Calculando a derivada em relação a :
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo . A aceleração nos diz como a velocidade está mudando ao longo do tempo.
Derivando a velocidade:
Então, a aceleração é:

Passo 4

Agora que temos os vetores velocidade e aceleração, vamos calcular o módulo da velocidade no instante . O módulo da velocidade, também conhecido como velocidade escalar, nos dá a rapidez da partícula sem considerar a direção.
Usando a expressão da velocidade:
O módulo é calculado usando a fórmula:
Então, o módulo da velocidade em é 3 unidades de velocidade.

Passo 5

Agora, vamos determinar a direção do movimento da partícula no instante . Para isso, vamos encontrar o versor (vetor unitário) na direção da velocidade, que indica a direção do movimento sem considerar a magnitude.
A velocidade em já está calculada:
O versor é obtido dividindo o vetor velocidade pelo seu módulo:
Então, a direção do movimento é dada pelo versor .

Resposta

A velocidade da partícula no instante é , a aceleração é , o módulo da velocidade é 3, e a direção do movimento é dada pelo versor . Assim, a velocidade pode ser escrita como o produto da sua magnitude e do versor:

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