Nos Exercícios 9-14, r
é a posição de uma partícula no espaço no instante
. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de
. Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula no espaço em função do tempo, representada por
. Nosso objetivo é encontrar os vetores velocidade e aceleração da partícula, calcular o módulo da velocidade e a direção do movimento no instante
. Além disso, vamos expressar a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e um versor (vetor unitário). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e cálculo de magnitudes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
, que é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Em termos simples, a velocidade mostra quão rápido e em que direção a partícula está se movendo a cada instante.
Dados:
Calculando a derivada em relação a
:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
, que é a derivada da velocidade
em relação ao tempo
. A aceleração nos diz como a velocidade está mudando ao longo do tempo.
Derivando a velocidade:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Agora que temos os vetores velocidade e aceleração, vamos calcular o módulo da velocidade no instante
. O módulo da velocidade, também conhecido como velocidade escalar, nos dá a rapidez da partícula sem considerar a direção.
Usando a expressão da velocidade:
O módulo é calculado usando a fórmula:
Então, o módulo da velocidade em
é 3 unidades de velocidade.
Passo 5
Agora, vamos determinar a direção do movimento da partícula no instante
. Para isso, vamos encontrar o versor (vetor unitário) na direção da velocidade, que indica a direção do movimento sem considerar a magnitude.
A velocidade em
já está calculada:
O versor é obtido dividindo o vetor velocidade pelo seu módulo:
Então, a direção do movimento é dada pelo versor
.
Resposta
A velocidade da partícula no instante
é
, a aceleração é
, o módulo da velocidade é 3, e a direção do movimento é dada pelo versor
. Assim, a velocidade pode ser escrita como o produto da sua magnitude e do versor:
Exercícios relacionados
Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave
em
é a reta que passa pelo ponto
paralela a
, o vetor velocidade da curva em
. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro
.
Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo
Movimento no círculo
Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento na cicloide
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Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo
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