Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave em é a reta que passa pelo ponto paralela a , o vetor velocidade da curva em . Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma curva suave definida por uma função vetorial , e queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva no espaço tridimensional, o que envolve calcular o vetor posição no ponto e o vetor velocidade (ou derivada) nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Isso significa substituir por 2 na função vetorial :
Então, o ponto na curva é .
Passo 3
Agora, precisamos achar o vetor velocidade , que é a derivada da função vetorial em relação a . Vamos derivar cada componente:
Passo 4
Com o vetor velocidade geral, vamos calcular substituindo por 2:
Então, o vetor velocidade no ponto é .
Passo 5
Agora que temos o ponto e o vetor diretor da reta tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é:
Aplicando os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são: