Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k em t = t0 é a reta que passa pelo ponto f(t0), g(t0), h(t0) paralela a v(t0), o vetor velocidade da curva em t0. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = t0.
r(t) = t^2 i + (2t - 1) j + t^3 k, t0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma curva suave definida por uma função vetorial , e queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva no espaço tridimensional, o que envolve calcular o vetor posição no ponto t0 e o vetor velocidade (ou derivada) nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Isso significa substituir t por 2 na função vetorial r(t):
Então, o ponto na curva é .

Passo 3

Agora, precisamos achar o vetor velocidade v(t), que é a derivada da função vetorial r(t) em relação a t. Vamos derivar cada componente:

Passo 4

Com o vetor velocidade geral, vamos calcular substituindo t por 2:
Então, o vetor velocidade no ponto é .

Passo 5

Agora que temos o ponto e o vetor diretor da reta tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor (a, b, c) é:
Aplicando os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:

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