Demonstre a primeira lei de De Morgan da Tabela 1 mostrando que se e forem conjuntos, então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar a primeira lei de De Morgan para conjuntos, que diz que se e são conjuntos, então a união deles complementada é igual à interseção dos complementos, ou seja:
Para isso, vamos mostrar que cada lado dessa igualdade é um subconjunto do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que . Isso significa que qualquer elemento que está em também está em e em .
Passo 3
Vamos pegar um elemento qualquer que pertence a . Por definição, isso quer dizer que não está em .
Passo 4
Se não está em , então não está nem em nem em . Isso significa que pertence tanto a quanto a .
Passo 5
Como pertence a ambos e , podemos concluir que está na interseção . Assim, mostramos que:
Passo 6
Agora, vamos mostrar o contrário: que . Ou seja, qualquer elemento que está em também está em .
Passo 7
Pegamos um elemento que pertence a . Isso significa que não está em e não está em .
Passo 8
Se não está nem em nem em , então não está na união . Portanto, pertence a .
Passo 9
Concluímos que:
Como mostramos que cada lado é um subconjunto do outro, podemos afirmar que:
Resposta
Demonstramos que mostrando que cada lado é um subconjunto do outro.