Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo
Movimento no círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um movimento no plano
onde a posição da partícula é dada por um vetor
. O que a gente precisa fazer é encontrar os vetores velocidade e aceleração dessa partícula nos instantes
e
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Então, vamos derivar cada componente de
.
Passo 3
Derivando
:
Portanto, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor velocidade nos instantes
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente de
.
Passo 6
Derivando
:
Então, o vetor aceleração fica:
Passo 7
Vamos calcular o vetor aceleração nos instantes
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
Nos instantes
e
, os vetores velocidade e aceleração são:
-
Para
: -
Para
: