Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano . Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um movimento no plano onde a posição da partícula é dada por um vetor . O que a gente precisa fazer é encontrar os vetores velocidade e aceleração dessa partícula nos instantes e . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Então, vamos derivar cada componente de .

Passo 3

Derivando :
Portanto, o vetor velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor velocidade nos instantes e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente de .

Passo 6

Derivando :
Então, o vetor aceleração fica:

Passo 7

Vamos calcular o vetor aceleração nos instantes e .
Para :
Para :

Resposta

Nos instantes e , os vetores velocidade e aceleração são:
  • Para :
  • Para :

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Movimento na cicloide
Nos Exercícios 9-14, r é a posição de uma partícula no espaço no instante . Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de . Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.
observando a tabela de senos e cossenos, compute:
Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave em é a reta que passa pelo ponto paralela a , o vetor velocidade da curva em . Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro .