Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k em t = t0 é a reta que passa pelo ponto f(t0), g(t0), h(t0) paralela a v(t0), o vetor velocidade da curva em t0. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = t0.
r(t) = ln(t) i + (t-1)/(t+2) j + t ln(t) k, t0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pela função vetorial e precisamos encontrar a equação paramétrica da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de uma função vetorial que nos dá o vetor velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Isso significa substituir por 1 na função :
Sabemos que , então:
Então, o ponto na curva é a origem .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade , que é a derivada da função em relação a :
Vamos derivar cada componente separadamente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Para a segunda componente , usamos a regra do quociente:
  • Derivada de usando a regra do produto:
Então, o vetor velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o vetor velocidade no ponto :
Sabendo que , temos:
Então, o vetor velocidade no ponto é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A fórmula geral para a reta é:
Substituindo os valores:
Isso nos dá as equações paramétricas:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:

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