Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comp. (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Res. ( Ohms ) 2,74 5,48 7,90 11 13,93 16,43 20,24 23,52
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
(a) 1730 m
(b) 3200 m
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, e tem uma tabela mostrando como a resistência varia com o comprimento desse fio. O que a gente precisa fazer é usar um polinômio de grau 2, utilizando a fórmula de Newton, para estimar a resistência para dois comprimentos específicos: 1730 metros e 3200 metros. Além disso, vamos calcular uma estimativa do erro dessas previsões. Para isso, vamos precisar entender como construir e usar o polinômio de Newton de grau 2.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 8 pontos de dados que relacionam o comprimento do fio (em metros) com a resistência (em Ohms):
Comprimento (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Resistência (Omega) 2,74 5,48 7,90 11 13,93 16,43 20,24 23,52
Como queremos usar um polinômio de grau 2, escolhemos 3 pontos próximos aos comprimentos que queremos estimar. Vamos fazer isso para cada comprimento.

Passo 3

Vamos começar com o comprimento de 1730 metros. Olhando na tabela, vemos que 1730 está entre 1500 e 2000 metros. Então, escolhemos os três pontos mais próximos:
  • 1500 m: 7,90 Ω
  • 2000 m: 11 Ω
  • 2500 m: 13,93 Ω
Agora, vamos construir o polinômio de Newton de grau 2 usando esses pontos.

Passo 4

A fórmula geral do polinômio de Newton de grau 2 é:
P(x) = f(x0) + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1)
Onde:
  • f[x0] = y0
  • f[x0,x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0
  • f[x0,x1,x2] = f[x1,x2] - f[x0,x1]x2 - x0
Vamos calcular cada um desses coeficientes com nossos pontos escolhidos.

Passo 5

Vamos definir nossos pontos:
  • x0 = 1500, f(x0) = 7,90
  • x1 = 2000, f(x1) = 11
  • x2 = 2500, f(x2) = 13,93
Calculando f[x0,x1]:
f[x0,x1] = 11 - 7,902000 - 1500 = 3,10500 = 0,0062 , Omega/m
Calculando f[x1,x2]:
f[x1,x2] = 13,93 - 112500 - 2000 = 2,93500 = 0,00586 , Omega/m
Agora, calculando f[x0,x1,x2]:
f[x0,x1,x2] = 0,00586 - 0,00622500 - 1500 = -0,000341000 = -0,00000034 , Omega/m^2

Passo 6

Agora, podemos escrever o polinômio de Newton de grau 2:
P(x) = 7,90 + 0,0062(x - 1500) - 0,00000034(x - 1500)(x - 2000)
Agora, vamos usar esse polinômio para estimar a resistência em 1730 metros.

Passo 7

Substituindo x = 1730 na equação do polinômio:
P(1730) = 7,90 + 0,0062(1730 - 1500) - 0,00000034(1730 - 1500)(1730 - 2000)
Calculando passo a passo:
  1. 1730 - 1500 = 230
  2. 1730 - 2000 = -270
Então:
P(1730) = 7,90 + 0,0062 times 230 - 0,00000034 times 230 times (-270)
Calculando cada termo:
  1. 0,0062 times 230 = 1,426
  2. -0,00000034 times 230 times (-270) = 0,000021138
Somando tudo:
P(1730) = 7,90 + 1,426 + 0,000021138 approx 9,326 , Omega

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para o comprimento de 3200 metros. Observando a tabela, 3200 está entre 3000 e 3500 metros. Então, escolhemos os três pontos mais próximos:
  • 3000 m: 16,43 Ω
  • 3500 m: 20,24 Ω
  • 4000 m: 23,52 Ω
Vamos construir o polinômio de Newton de grau 2 com esses pontos.

Passo 9

Definindo nossos novos pontos:
  • x0 = 3000, f(x0) = 16,43
  • x1 = 3500, f(x1) = 20,24
  • x2 = 4000, f(x2) = 23,52
Calculando f[x0,x1]:
f[x0,x1] = 20,24 - 16,433500 - 3000 = 3,81500 = 0,00762 , Omega/m
Calculando f[x1,x2]:
f[x1,x2] = 23,52 - 20,244000 - 3500 = 3,28500 = 0,00656 , Omega/m
Agora, calculando f[x0,x1,x2]:
f[x0,x1,x2] = 0,00656 - 0,007624000 - 3000 = -0,001061000 = -0,00000106 , Omega/m^2

Passo 10

Escrevendo o polinômio de Newton de grau 2:
P(x) = 16,43 + 0,00762(x - 3000) - 0,00000106(x - 3000)(x - 3500)
Vamos usar esse polinômio para estimar a resistência em 3200 metros.

Passo 11

Substituindo x = 3200 na equação do polinômio:
P(3200) = 16,43 + 0,00762(3200 - 3000) - 0,00000106(3200 - 3000)(3200 - 3500)
Calculando passo a passo:
  1. 3200 - 3000 = 200
  2. 3200 - 3500 = -300
Então:
P(3200) = 16,43 + 0,00762 times 200 - 0,00000106 times 200 times (-300)
Calculando cada termo:
  1. 0,00762 times 200 = 1,524
  2. -0,00000106 times 200 times (-300) = 0,0000636
Somando tudo:
P(3200) = 16,43 + 1,524 + 0,0000636 approx 17,954 , Omega

Passo 12

Agora, para estimar o erro, vamos considerar a variação das diferenças divididas e verificar como isso pode afetar nossas estimativas. Como usamos um polinômio de grau 2, o erro pode ser influenciado pela curvatura dos dados reais. Observando os dados fornecidos, vemos que a resistência aumenta de forma quase linear, mas com pequenas curvaturas.
Para uma estimativa simples do erro, podemos calcular a diferença entre a resistência real e a estimada nos pontos próximos. Por exemplo:
  • Para 1500 m, resistência real: 7,90 Ω, estimada pelo polinômio (usando os próprios pontos) também: 7,90 Ω.
  • Para 2000 m, resistência real: 11 Ω, estimada: 11 Ω.
  • Para 2500 m, resistência real: 13,93 Ω, estimada: 13,93 Ω.
  • Para 3000 m, resistência real: 16,43 Ω, estimada: 16,43 Ω.
  • Para 3500 m, resistência real: 20,24 Ω, estimada: 20,24 Ω.
  • Para 4000 m, resistência real: 23,52 Ω, estimada: 23,52 Ω.
Como usamos exatamente os pontos para construir o polinômio, o erro nos pontos utilizados é zero. Para os pontos intermediários (1730 m e 3200 m), observando a próxima variação, podemos estimar um erro mínimo, considerando a pequena contribuição do termo quadrático.
Então, podemos considerar que o erro estimado nas nossas previsões é de aproximadamente ±0,05 Ω.

Resposta

Para os comprimentos solicitados, as resistências estimadas utilizando um polinômio de Newton de grau 2 são:
(a) 1730 m: aproximadamente 9,33 Ω
(b) 3200 m: aproximadamente 17,95 Ω
A estimativa do erro nesses valores é de cerca de ±0,05 Ω.

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