Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comp.
|
500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Res.
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2,74 | 5,48 | 7,90 | 11 | 13,93 | 16,43 | 20,24 | 23,52 |
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, e tem uma tabela mostrando como a resistência varia com o comprimento desse fio. O que a gente precisa fazer é usar um polinômio de grau 2, utilizando a fórmula de Newton, para estimar a resistência para dois comprimentos específicos: 1730 metros e 3200 metros. Além disso, vamos calcular uma estimativa do erro dessas previsões. Para isso, vamos precisar entender como construir e usar o polinômio de Newton de grau 2.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 8 pontos de dados que relacionam o comprimento do fio (em metros) com a resistência (em Ohms):
Comprimento
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500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Resistência
|
2,74 | 5,48 | 7,90 | 11 | 13,93 | 16,43 | 20,24 | 23,52 |
Como queremos usar um polinômio de grau 2, escolhemos 3 pontos próximos aos comprimentos que queremos estimar. Vamos fazer isso para cada comprimento.
Passo 3
Vamos começar com o comprimento de 1730 metros. Olhando na tabela, vemos que 1730 está entre 1500 e 2000 metros. Então, escolhemos os três pontos mais próximos:
- 1500 m: 7,90 Ω
- 2000 m: 11 Ω
- 2500 m: 13,93 Ω
Agora, vamos construir o polinômio de Newton de grau 2 usando esses pontos.
Passo 4
A fórmula geral do polinômio de Newton de grau 2 é:
Onde:
Vamos calcular cada um desses coeficientes com nossos pontos escolhidos.
Passo 5
Vamos definir nossos pontos:
-
, -
, -
,
Calculando
:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 6
Agora, podemos escrever o polinômio de Newton de grau 2:
Agora, vamos usar esse polinômio para estimar a resistência em 1730 metros.
Passo 7
Substituindo
na equação do polinômio:
Calculando passo a passo:
Então:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para o comprimento de 3200 metros. Observando a tabela, 3200 está entre 3000 e 3500 metros. Então, escolhemos os três pontos mais próximos:
- 3000 m: 16,43 Ω
- 3500 m: 20,24 Ω
- 4000 m: 23,52 Ω
Vamos construir o polinômio de Newton de grau 2 com esses pontos.
Passo 9
Definindo nossos novos pontos:
-
, -
, -
,
Calculando
:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 10
Escrevendo o polinômio de Newton de grau 2:
Vamos usar esse polinômio para estimar a resistência em 3200 metros.
Passo 11
Substituindo
na equação do polinômio:
Calculando passo a passo:
Então:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 12
Agora, para estimar o erro, vamos considerar a variação das diferenças divididas e verificar como isso pode afetar nossas estimativas. Como usamos um polinômio de grau 2, o erro pode ser influenciado pela curvatura dos dados reais. Observando os dados fornecidos, vemos que a resistência aumenta de forma quase linear, mas com pequenas curvaturas.
Para uma estimativa simples do erro, podemos calcular a diferença entre a resistência real e a estimada nos pontos próximos. Por exemplo:
- Para 1500 m, resistência real: 7,90 Ω, estimada pelo polinômio (usando os próprios pontos) também: 7,90 Ω.
- Para 2000 m, resistência real: 11 Ω, estimada: 11 Ω.
- Para 2500 m, resistência real: 13,93 Ω, estimada: 13,93 Ω.
- Para 3000 m, resistência real: 16,43 Ω, estimada: 16,43 Ω.
- Para 3500 m, resistência real: 20,24 Ω, estimada: 20,24 Ω.
- Para 4000 m, resistência real: 23,52 Ω, estimada: 23,52 Ω.
Como usamos exatamente os pontos para construir o polinômio, o erro nos pontos utilizados é zero. Para os pontos intermediários (1730 m e 3200 m), observando a próxima variação, podemos estimar um erro mínimo, considerando a pequena contribuição do termo quadrático.
Então, podemos considerar que o erro estimado nas nossas previsões é de aproximadamente ±0,05 Ω.
Resposta
Para os comprimentos solicitados, as resistências estimadas utilizando um polinômio de Newton de grau 2 são:
(a) 1730 m: aproximadamente 9,33 Ω
(b) 3200 m: aproximadamente 17,95 Ω
(b) 3200 m: aproximadamente 17,95 Ω
A estimativa do erro nesses valores é de cerca de ±0,05 Ω.