Denominamos interpolação inversa quando conhecidos os valores de uma função f(x) definida em (n+1) pontos distintos xi, i=0, ldots, n necessitamos calcular o valor numérico da variável barx correspondente a um valor bary=f(barx) conhecido inicialmente. Considere a seguinte função f(x) tabelada:
xi 0 1 2
f(xi) 1,31 3,51 3,78
Faça uso da interpolação inversa pela fórmula de Newton de grau 2, determine barx tal que f(barx)=3,63.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função h(y)=f^-1(y) nos pontos y0=1,31, y1=3,51 e y2=3,78.

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar o valor de barx tal que f(barx) = 3,63 usando interpolação inversa. Vamos utilizar a fórmula de Newton de grau 2. A interpolação inversa é útil quando conhecemos os valores de uma função em certos pontos e queremos determinar a entrada que corresponde a um valor específico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos fornecidos na tabela:
|c|c|c|c| hline xi & 0 & 1 & 2 hline f(xi) & 1,31 & 3,51 & 3,78 hline
Queremos encontrar barx tal que f(barx) = 3,63. Para isso, vamos considerar a função inversa h(y) = f^-1(y), que troca o papel de x e y. Assim, temos os pontos:
|c|c| hline yi & h(yi) = xi hline 1,31 & 0 3,51 & 1 3,78 & 2 hline

Passo 3

Vamos utilizar a fórmula de Newton para interpolação polinomial de grau 2. A fórmula geral é:
P(y) = h(y0) + h(y1) - h(y0)y1 - y0(y - y0) + [h(y2) - h(y1)y2 - y1 - h(y1) - h(y0)y1 - y0]y2 - y0(y - y0)(y - y1)
Vamos calcular cada uma das diferenças divididas necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[y0, y1] = h(y1) - h(y0)y1 - y0 = 1 - 03,51 - 1,31 = 12,20 approx 0,4545
f[y1, y2] = h(y2) - h(y1)y2 - y1 = 2 - 13,78 - 3,51 = 10,27 approx 3,7037

Passo 5

Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem:
f[y0, y1, y2] = f[y1, y2] - f[y0, y1]y2 - y0 = 3,7037 - 0,45453,78 - 1,31 = 3,24922,47 approx 1,3153

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador:
P(y) = h(y0) + f[y0, y1](y - y0) + f[y0, y1, y2](y - y0)(y - y1)
Substituindo os valores:
P(y) = 0 + 0,4545(y - 1,31) + 1,3153(y - 1,31)(y - 3,51)

Passo 7

Agora, substituímos y = 3,63 na expressão de P(y):
P(3,63) = 0,4545(3,63 - 1,31) + 1,3153(3,63 - 1,31)(3,63 - 3,51)
Calculando cada termo:
3,63 - 1,31 = 2,32
3,63 - 3,51 = 0,12
Então:
P(3,63) = 0,4545 times 2,32 + 1,3153 times 2,32 times 0,12
P(3,63) = 1,0562 + 0,3688 approx 1,425

Resposta

O valor de barx tal que f(barx) = 3,63 é aproximadamente barx approx 1,43.

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