Denominamos interpolação inversa quando conhecidos os valores de uma função definida em pontos distintos necessitamos calcular o valor numérico da variável correspondente a um valor conhecido inicialmente. Considere a seguinte função tabelada:
0 1 2
1,31 3,51 3,78
Faça uso da interpolação inversa pela fórmula de Newton de grau 2, determine tal que .
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função nos pontos .

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar o valor de tal que usando interpolação inversa. Vamos utilizar a fórmula de Newton de grau 2. A interpolação inversa é útil quando conhecemos os valores de uma função em certos pontos e queremos determinar a entrada que corresponde a um valor específico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos fornecidos na tabela:
Queremos encontrar tal que . Para isso, vamos considerar a função inversa , que troca o papel de e . Assim, temos os pontos:

Passo 3

Vamos utilizar a fórmula de Newton para interpolação polinomial de grau 2. A fórmula geral é:
Vamos calcular cada uma das diferenças divididas necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:

Passo 5

Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem:

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

O valor de tal que é aproximadamente .

Exercícios relacionados

A função Gama foi definida por Euler por meio da integral
Com respeito a função Gama, temos a tabela:
1 1,02 1,04
1,0000 0,9888 0,9784
Usando a fórmula de Newton, calcule e .
Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos e para a função .
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.
Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comp. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Res. Ohms 2,74 5,48 7,90 11 13,93 16,43 20,24 23,52
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).
Use a porção dada a seguir de uma tabela de vapor d
(a) a entropia correspondente s para um volume específico de 0,118 com interpolação linear;
(b) Uma estimativa do erro para um volume específico de 0,118 obtido no item anterior;
© a mesma entropia correspondente utilizando interpolação quadrática;
(d) o volume correspondente a uma entropia de 6,45 utilizando interpolação inversa.