Denominamos interpolação inversa quando conhecidos os valores de uma função
definida em
pontos distintos
necessitamos calcular o valor numérico da variável
correspondente a um valor
conhecido inicialmente. Considere a seguinte função
tabelada:
|
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
|
1,31 | 3,51 | 3,78 |
Faça uso da interpolação inversa pela fórmula de Newton de grau 2, determine
tal que
.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função nos pontos
.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar o valor de
tal que
usando interpolação inversa. Vamos utilizar a fórmula de Newton de grau 2. A interpolação inversa é útil quando conhecemos os valores de uma função em certos pontos e queremos determinar a entrada que corresponde a um valor específico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os pontos fornecidos na tabela:
Queremos encontrar
tal que
. Para isso, vamos considerar a função inversa
, que troca o papel de
e
. Assim, temos os pontos:
Passo 3
Vamos utilizar a fórmula de Newton para interpolação polinomial de grau 2. A fórmula geral é:
Vamos calcular cada uma das diferenças divididas necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Passo 5
Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem:
Passo 6
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O valor de
tal que
é aproximadamente
.