Denominamos interpolação inversa quando conhecidos os valores de uma função
definida em
pontos distintos
necessitamos calcular o valor numérico da variável
correspondente a um valor
conhecido inicialmente. Considere a seguinte função
tabelada:
|
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
|
1,31 | 3,51 | 3,78 |
Faça uso da interpolação inversa pela fórmula de Newton de grau 2, determine
tal que
.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função nos pontos
.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar o valor de
tal que
usando interpolação inversa. Vamos utilizar a fórmula de Newton de grau 2. A interpolação inversa é útil quando conhecemos os valores de uma função em certos pontos e queremos determinar a entrada que corresponde a um valor específico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os pontos fornecidos na tabela:
Queremos encontrar
tal que
. Para isso, vamos considerar a função inversa
, que troca o papel de
e
. Assim, temos os pontos:
Passo 3
Vamos utilizar a fórmula de Newton para interpolação polinomial de grau 2. A fórmula geral é:
Vamos calcular cada uma das diferenças divididas necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Passo 5
Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem:
Passo 6
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O valor de
tal que
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
A função Gama foi definida por Euler por meio da integral
Com respeito a função Gama, temos a tabela:
|
1 | 1,02 | 1,04 |
---|---|---|---|
|
1,0000 | 0,9888 | 0,9784 |
Usando a fórmula de Newton, calcule
e
.
Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos
e
para a função
.
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de
Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comp.
|
500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Res.
|
2,74 | 5,48 | 7,90 | 11 | 13,93 | 16,43 | 20,24 | 23,52 |
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).
Use a porção dada a seguir de uma tabela de vapor d
(a) a entropia correspondente s para um volume específico
de 0,118 com interpolação linear;
(b) Uma estimativa do erro para um volume específico de 0,118 obtido no item anterior;
© a mesma entropia correspondente utilizando interpolação quadrática;
(d) o volume correspondente a uma entropia de 6,45 utilizando interpolação inversa.
(b) Uma estimativa do erro para um volume específico
© a mesma entropia correspondente utilizando interpolação quadrática;
(d) o volume correspondente a uma entropia de 6,45 utilizando interpolação inversa.