A função Gama foi definida por Euler por meio da integral
Com respeito a função Gama, temos a tabela:
|
1 | 1,02 | 1,04 |
---|---|---|---|
|
1,0000 | 0,9888 | 0,9784 |
Usando a fórmula de Newton, calcule
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função Gama, definida por Euler através de uma integral:
A tabela nos fornece valores da função Gama para
,
e
. Precisamos usar a fórmula de Newton para estimar
e
. Para isso, vamos utilizar a interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para aproximar valores entre pontos conhecidos.
Passo 2
Vamos organizar os dados da tabela:
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1 | 1,02 | 1,04 |
---|---|---|---|
|
1,0000 | 0,9888 | 0,9784 |
A interpolação de Newton utiliza as diferenças divididas para construir o polinômio que aproxima a função entre os pontos dados.
Passo 3
Calcularemos as diferenças divididas de primeiro ordem (
):
Para
e
:
Para
e
:
Passo 4
Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem (
):
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton:
Onde
,
, e
.
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão para facilitar os cálculos:
Para
:
Para
:
Resposta
Usando a fórmula de Newton, os valores estimados são:
Exercícios relacionados
Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos
e
para a função
.
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de
Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja definida em
pontos distintos de um intervalo
. Então, existe um único polinômio
de grau menor ou igual a n tal que
.
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja
Denominamos interpolação inversa quando conhecidos os valores de uma função
definida em
pontos distintos
necessitamos calcular o valor numérico da variável
correspondente a um valor
conhecido inicialmente. Considere a seguinte função
tabelada:
|
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
|
1,31 | 3,51 | 3,78 |
Faça uso da interpolação inversa pela fórmula de Newton de grau 2, determine
tal que
.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função nos pontos
.
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função
Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comp.
|
500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Res.
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2,74 | 5,48 | 7,90 | 11 | 13,93 | 16,43 | 20,24 | 23,52 |
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).