A função Gama foi definida por Euler por meio da integral
Gamma(x)=integral0^infty t^x-1 e-t d t
Com respeito a função Gama, temos a tabela:
x 1 1,02 1,04
Gamma(x) 1,0000 0,9888 0,9784
Usando a fórmula de Newton, calcule Gamma(1,01) e Gamma(1,03).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função Gama, definida por Euler através de uma integral:
Gamma(x) = integral0^infty t^x-1 e^-t dt
A tabela nos fornece valores da função Gama para , e . Precisamos usar a fórmula de Newton para estimar e . Para isso, vamos utilizar a interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para aproximar valores entre pontos conhecidos.

Passo 2

Vamos organizar os dados da tabela:
1 1,02 1,04
1,0000 0,9888 0,9784
A interpolação de Newton utiliza as diferenças divididas para construir o polinômio que aproxima a função entre os pontos dados.

Passo 3

Calcularemos as diferenças divididas de primeiro ordem ( De):
Para De e :
Para e :

Passo 4

Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem ( De):

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton:
P(x) = f(x0) + De
Onde , , e .

Passo 6

Substituindo os valores:
P(x) = 1,0000 + (-0,56)(x - 1) + 1 (x - 1)(x - 1,02)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão para facilitar os cálculos:
Para P(1,01) = 1,0000 + (-0,56)(1,01 - 1) + 1 (1,01 - 1)(1,01 - 1,02) :
P(1,01) = 1,0000 + (-0,56)(0,01) + 1 (0,01)(-0,01)
P(1,01) = 1,0000 - 0,0056 - 0,0001
P(1,01) = 0,9943
P(1,03) = 1,0000 + (-0,56)(1,03 - 1) + 1 (1,03 - 1)(1,03 - 1,02)
Para P(1,03) = 1,0000 + (-0,56)(0,03) + 1 (0,03)(0,01) :
P(1,03) = 1,0000 - 0,0168 + 0,0003
P(1,03) = 0,9835

Resposta

Usando a fórmula de Newton, os valores estimados são:
Gamma(1,01) approx 0,9943
Gamma(1,03) approx 0,9835

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