A função Gama foi definida por Euler por meio da integral
Com respeito a função Gama, temos a tabela:
1 1,02 1,04
1,0000 0,9888 0,9784
Usando a fórmula de Newton, calcule e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função Gama, definida por Euler através de uma integral:
A tabela nos fornece valores da função Gama para , e . Precisamos usar a fórmula de Newton para estimar e . Para isso, vamos utilizar a interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para aproximar valores entre pontos conhecidos.

Passo 2

Vamos organizar os dados da tabela:
1 1,02 1,04
1,0000 0,9888 0,9784
A interpolação de Newton utiliza as diferenças divididas para construir o polinômio que aproxima a função entre os pontos dados.

Passo 3

Calcularemos as diferenças divididas de primeiro ordem ( ):
Para e :
Para e :

Passo 4

Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem ( ):

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton:
Onde , , e .

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão para facilitar os cálculos:
Para :
Para :

Resposta

Usando a fórmula de Newton, os valores estimados são:

Exercícios relacionados

Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos e para a função .
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.
Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja definida em pontos distintos de um intervalo . Então, existe um único polinômio de grau menor ou igual a n tal que .
Denominamos interpolação inversa quando conhecidos os valores de uma função definida em pontos distintos necessitamos calcular o valor numérico da variável correspondente a um valor conhecido inicialmente. Considere a seguinte função tabelada:
0 1 2
1,31 3,51 3,78
Faça uso da interpolação inversa pela fórmula de Newton de grau 2, determine tal que .
Sugestão: Use um polinômio interpolador que interpola a função nos pontos .
Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comp. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Res. Ohms 2,74 5,48 7,90 11 13,93 16,43 20,24 23,52
Determine quais serão as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
(a) 1730 m
(b)
usando a fórmula de Newton com um polinômio de grau 2. Além disso, obtenha uma estimativa do erro nos valores indicados nos itens (a) e (b).