Conhecendo a expressão para o campo magnético gerado por um fio condutor muito longo e reto, mostre que para dois fios retos paralelos e de mesmo comprimento, com correntes estacionárias distintas, ia e ib, em cada um deles e de mesmo sentido, a força que atua em um devido a corrente no outro satisfaz
Fa(b)=-Fb(a)
A qual distância dos fios um terceiro fio com corrente, paralelo aos outros dois, pode ser inserido, tal que a força resultante sobre ele seja nula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o campo magnético gerado por fios elétricos longos e retos. A gente precisa mostrar que a força entre dois fios paralelos com correntes e no mesmo sentido é tal que . Além disso, tem uma segunda parte perguntando a que distância um terceiro fio pode ser colocado para que a força resultante sobre ele seja nula. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Ampère para o campo magnético e a Lei de Biot-Savart para a força entre os fios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético gerado por um fio longo e reto com corrente B = mu0 i2pi d . A expressão para o campo magnético a uma distância do fio é dada por:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos pensar na força que um fio com corrente FL = mu0 ia ib2pi d exerce sobre outro fio com corrente . A força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos é dada por:
Essa força é atrativa se as correntes estiverem no mesmo sentido e repulsiva se estiverem em sentidos contrários.

Passo 4

Para mostrar que Fa(b) = mu0 ia ib2pi d e Fb(a) = mu0 ib ia2pi d , vamos analisar a força que cada fio exerce sobre o outro. O fio Fa(b) = Fb(a) gera um campo magnético que atua sobre o fio Fa(b) = -Fb(a) , criando uma força . Simultaneamente, o fio gera um campo magnético que atua sobre o fio , criando uma força .
De acordo com a expressão da força acima, percebemos que:
Como , temos:
No entanto, essas forças estão em direções opostas (se um fio puxa o outro, o outro puxa o primeiro com a mesma intensidade, mas direção contrária), então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância a que um terceiro fio com corrente pode ser colocado de forma que a força resultante sobre ele seja nula. Suponha que esse terceiro fio tenha corrente Fa(c) = mu0 ia ic2pi x e esteja a uma distância Fb(c) = mu0 ib ic2pi (d - x) do fio Fa(c) = Fb(c) e mu0 ia ic2pi x = mu0 ib ic2pi (d - x) do fio iax = ibd - x , onde é a distância entre os fios e .
A força sobre o fio devido ao fio é:
E a força sobre o fio devido ao fio é:
Para que a força resultante seja nula:
Assim:
Podemos simplificar , , e dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para ia (d - x) = ib x :
ia d - ia x = ib x
Distribuindo ia d = ib x + ia x :
ia d = x (ib + ia)
Somando x = ia dia + ib aos dois lados:
Fatorando :
Isolando :

Resposta

A distância a que o terceiro fio deve ser colocado para que a força resultante sobre ele seja nula é:
x = ia dia + ib

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