Conhecendo a expressão para o campo magnético gerado por um fio condutor muito longo e reto, mostre que para dois fios retos paralelos e de mesmo comprimento, com correntes estacionárias distintas,
e
, em cada um deles e de mesmo sentido, a força que atua em um devido a corrente no outro satisfaz
A qual distância dos fios um terceiro fio com corrente, paralelo aos outros dois, pode ser inserido, tal que a força resultante sobre ele seja nula?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o campo magnético gerado por fios elétricos longos e retos. A gente precisa mostrar que a força entre dois fios paralelos com correntes
e
no mesmo sentido é tal que
. Além disso, tem uma segunda parte perguntando a que distância um terceiro fio pode ser colocado para que a força resultante sobre ele seja nula. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Ampère para o campo magnético e a Lei de Biot-Savart para a força entre os fios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético gerado por um fio longo e reto com corrente
. A expressão para o campo magnético
a uma distância
do fio é dada por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos pensar na força que um fio com corrente
exerce sobre outro fio com corrente
. A força por unidade de comprimento
entre dois fios paralelos é dada por:
Essa força é atrativa se as correntes estiverem no mesmo sentido e repulsiva se estiverem em sentidos contrários.
Passo 4
Para mostrar que
, vamos analisar a força que cada fio exerce sobre o outro. O fio
gera um campo magnético que atua sobre o fio
, criando uma força
. Simultaneamente, o fio
gera um campo magnético que atua sobre o fio
, criando uma força
.
De acordo com a expressão da força acima, percebemos que:
Como
, temos:
No entanto, essas forças estão em direções opostas (se um fio puxa o outro, o outro puxa o primeiro com a mesma intensidade, mas direção contrária), então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distância a que um terceiro fio com corrente pode ser colocado de forma que a força resultante sobre ele seja nula. Suponha que esse terceiro fio tenha corrente
e esteja a uma distância
do fio
e
do fio
, onde
é a distância entre os fios
e
.
A força sobre o fio
devido ao fio
é:
E a força sobre o fio
devido ao fio
é:
Para que a força resultante seja nula:
Assim:
Podemos simplificar
,
, e
dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Distribuindo
:
Somando
aos dois lados:
Fatorando
:
Isolando
:
Resposta
A distância a que o terceiro fio deve ser colocado para que a força resultante sobre ele seja nula é: