Considere um solenoide toroidal com N voltas, raio interno a e raio externo b, e com uma corrente i. Calcule, em detalhes, o campo magnético dentro e fora do toroide.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um solenoide toroidal, que é basicamente uma bobina em forma de donut, com N voltas, raio interno a, raio externo b, e uma corrente i passando por ele. Nosso objetivo é calcular o campo magnético tanto dentro quanto fora desse toroide. Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo, especificamente a Lei de Ampère, que nos ajuda a relacionar correntes elétricas e campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do toroide. Um toroide tem a forma de um anel com uma certa espessura, definida pelos raios interno a e externo b. As N voltas da corrente i estão distribuídas uniformemente ao longo desse anel.

Passo 3

Para calcular o campo magnético, vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo mu0 multiplicada pela corrente total que passa através desse caminho:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, Ienc é a corrente encerrada pelo caminho de integração.

Passo 4

Vamos escolher um caminho de integração circular que coincide com o centro do toroide, a uma distância r do centro. Esse caminho facilita os cálculos porque, devido à simetria do toroide, o campo magnético B terá a mesma magnitude em todos os pontos desse caminho e será paralelo a dl.

Passo 5

Dentro do toroide, ou seja, para a < r < b, o número de voltas que a corrente encerra depende da posição r. Se considerarmos que as voltas estão distribuídas uniformemente, a densidade de voltas por unidade de comprimento é N2pi r', onde r' é o raio na posição considerada.

Passo 6

A corrente total encerrada pelo caminho de integração será então a corrente por volta multiplicada pelo número de voltas dentro do raio r:
Ienc = i times N rb - a (aproximando uniformemente distribuído) í

Passo 7

Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc = mu0 i N rb - a
Aqui, B é constante ao longo do caminho de integração.

Passo 8

Resolvendo para B dentro do toroide:
B = mu0 i N2pi (b - a)
Isso nos dá a magnitude do campo magnético dentro do toroide.

Passo 9

Agora, para fora do toroide, ou seja, para r < a ou r > b, não há corrente encerrada pelo caminho de integração, pois todas as correntes estão confinadas dentro do toroide. Assim, pelo mesmo princípio da Lei de Ampère:
oint B cdot dl = 0 implies B = 0

Resposta

O campo magnético no interior do toroide é dado por
B = mu0 , i , N2pi (b - a)
e fora do toroide o campo magnético é zero, ou seja,
B = 0

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