Considere um solenoide toroidal com
voltas, raio interno
e raio externo
, e com uma corrente i. Calcule, em detalhes, o campo magnético dentro e fora do toroide.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um solenoide toroidal, que é basicamente uma bobina em forma de donut, com
voltas, raio interno
, raio externo
, e uma corrente
passando por ele. Nosso objetivo é calcular o campo magnético tanto dentro quanto fora desse toroide. Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo, especificamente a Lei de Ampère, que nos ajuda a relacionar correntes elétricas e campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do toroide. Um toroide tem a forma de um anel com uma certa espessura, definida pelos raios interno
e externo
. As
voltas da corrente
estão distribuídas uniformemente ao longo desse anel.
Passo 3
Para calcular o campo magnético, vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo
multiplicada pela corrente total que passa através desse caminho:
Aqui,
é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Passo 4
Vamos escolher um caminho de integração circular que coincide com o centro do toroide, a uma distância
do centro. Esse caminho facilita os cálculos porque, devido à simetria do toroide, o campo magnético
terá a mesma magnitude em todos os pontos desse caminho e será paralelo a
.
Passo 5
Dentro do toroide, ou seja, para
, o número de voltas que a corrente encerra depende da posição
. Se considerarmos que as voltas estão distribuídas uniformemente, a densidade de voltas por unidade de comprimento é
, onde
é o raio na posição considerada.
Passo 6
A corrente total encerrada pelo caminho de integração será então a corrente por volta multiplicada pelo número de voltas dentro do raio
:
Passo 7
Aplicando a Lei de Ampère:
Aqui,
é constante ao longo do caminho de integração.
Passo 8
Resolvendo para
dentro do toroide:
Isso nos dá a magnitude do campo magnético dentro do toroide.
Passo 9
Agora, para fora do toroide, ou seja, para
ou
, não há corrente encerrada pelo caminho de integração, pois todas as correntes estão confinadas dentro do toroide. Assim, pelo mesmo princípio da Lei de Ampère:
Resposta
O campo magnético no interior do toroide é dado por
e fora do toroide o campo magnético é zero, ou seja,
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